Disuguaglianze nei triangoli
Confronto di elementi
Finora ci siamo occupati di congruenza tra elementi, cioè in termini più comuni, della loro "uguaglianza". Vediamo ora alcuni teoremi che permettono di stabilire delle relazioni di ordine tra di essi, cioè di stabilire quale è più piccolo e quale più grande. Per affermare che un elemento è maggiore di un altro, in geometria si fa riferimento al fatto che il primo contiene il secondo, ovvero che il secondo è interno al primo. Ad esempio un segmento AB è maggiore di un altro segmento CD quando esiste un punto D interno ad AB tale per cui AD è congruente a CD.
Angolo esterno è maggiore degli interni non adiacenti
In questa prima dimostrazione, piuttosto importante perché su di essa si appoggiano varie proprietà (vedi anche il testo dopo la dimostrazione), la costruzione non è immediata, ma anche in questo caso si mira ad ottenere due triangoli che si riveleranno congruenti; in uno dei due compare proprio il confronto tra gli elementi che ci interessano...
In questa dimostrazione abbiamo visto che l'angolo (o meglio una sua copia) é contenuto nell'angolo e quindi è necessariamente più piccolo. La stessa cosa vale per l'angolo centrato nel vertice . Infatti puoi verificare da sola/o:
1) invece di prolungare dalla parte di prolunghiamo dalla parte di , (trovi sempre l'angolo esterno )
2) invece di considerare la mediana relativa al lato considera quella relativa al lato AB, e prolungala in modo simile a quanto fatto nel teorema visto.
Potrai ripetere la stessa dimostrazione - solo un po' più scomoda, ma puoi sempre girare il foglio ;) - ed ottenere che anche (o meglio una sua copia) é contenuto nell'angolo . Di conseguenza l'angolo esterno è maggiore sia sia di che di , cioè di entrambi gli angoli del triangolo a cui non è adiacente.
Ovviamente la stessa cosa può essere ripetuta per l'angolo esterno relativo al vertice e quello relativo ad .
Un passaggio intermedio
Sappiamo dalle scuole medie che la somma degli angoli di un triangolo è 180°. Questo è direttamente legato al fatto che gli angoli esterni di un triangolo sono pari alla somma dei due angoli non adiacenti. Per dimostrare questo, tuttavia, sono necessarie alcuni teoremi, tra cui le proprietà delle rette parallele. Questi teoremi, a loro volta, hanno bisogno di sapere... che la somma degli angoli di un triangolo è 180°!!! Un gatto che si morde la coda: come si risolve?
In realtà in un primo momento ci basterà un'informazione più semplice: l'angolo esterno di un triangolo è superiore ad ognuno degli angoli interni non adiacenti ad esso (il che è evidente, se pensiamo che è pari alla loro somma, ma questo non lo possiamo ancora dire!). Con questa informazione possiamo dimostrare le proprietà delle rette parallele, e con queste arriviamo finalmente a poter dire che l'angolo esterno è pari alla somma degli altri due, ed infine possiamo dire che la somma delgi angoli di un triangolo è 180°. Un giro molto più lungo, ma necessario, se vogliamo davvero non dare niente per sottinteso e dimostrare in modo coerente e completo tutto quello che sappiamo.
Questo rende lo studio della Geometria Euclidea un po' complesso, a volte, e fa perdere di vista il fascino dei ragionamenti che offre.