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Blaschke's Frage & Darboux Cycliden

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene 13. März 2020 geändert: 09. April 2020 Diese Aktiität ist auch eine Seite des geogebra-books Darboux Cycliden & Bizirkulare Quartiken

W. Blaschke und G. Bol haben 1938 die Frage nach allen 6-Eck-Netzen aus Kreisen (hexagonal web, 3-web of circles) gestellt, - Literatur [BLA_BOL].
  • Man bestimme und charakterisiere alle Sechseck-Gewebe, die sich aus drei Kreisscharen bilden lassen!
3 Geradenbüschel bilden stets ein 6-Eck-Netz. Möbiusgeometrisch sind Geraden spezielle Kreise: auf der RIEMANNschen Zahlenkugel sind es genau die Kreise, die durch den "Nordpol" gehen. Der Satz von GRAF und SAUER Lit. [GRA_SA] besagt, dass sich aus Geraden genau dann ein 6-Eck-Netz bilden läßt, wenn die Geraden Tangenten einer Kurve 3. Klasse sind. Alle 6-Eck-Netze aus 3 Kreisbüschel wurden von uns 1982 aufgelistet und mit Zirkel, Lineal und Tuschefeder zu Papier gebracht Lit. [FÜW]. Leider ist der rechnerische Nachweis sehr umständlich, eine zündende Idee wäre erfreulich; zitiert wird in diesem Zusammenhang meist eine Arbeit von A. M. SHELEKHOV 2007 Lit. [SHEL]. Im vorliegenden geToolbar Imagegebra-book werden diese speziellen 6-Eck-Netze aus Kreisbüscheln aufgelistet und dargestellt. W. WUNDERLICH (Lit. [WUNW]) hat 1938 gezeigt, dass sich aus doppelt-berührenden Kreisen von bestimmten bizirkularen Quartiken 6-Eck-Netze aus Kreisen bilden lassen. Man vergleiche zu diesem Thema das geogebra-book Sechseck-Netze und die vorangegangenen Kapitel dieses books. Bei der Beschäftigung mit der Frage nach den Kreis-Netzen wird man immer wieder mit den bizirkularen Quartiken konfrontiert. Dies umso mehr, wenn man sich den räumlichen 6-Eck-Netzen aus Kreisen auf Flächen zuwendet. In manchen Übersichtsartikeln zu diesem Kontext wird behauptet, dass für alle Flächen - von der Kugel abgesehen - diese Frage gelöst sei. Dabei wird Bezug genommen auf den Artikel Aufmerksam gelesen kann man aus dem Artikel nur folgern, dass auf Darboux Cycliden sämtliche hexagonalen Kreisnetze ermittelt sind. Die Autoren betonen, dass sie ihrer Vermutung, dass "Flächen, welche mit 3 oder mehr Kreisscharen überdeckt sind, Darboux Cycliden sind" - weiter nachgehen werden: ... that any surface which carries three families of circles is a Darboux Cyclid; - die Kugel wird dabei selbstredend ausgeschlossen: "The problem of determining all hexagonal webs from circles in the plane (or equivalently on the sphere) turned out to be verry difficult", so die genannten Autoren.
  • Was sind Darboux Cycliden?
Die Gestalt der Fläche erkennt man mit Hilfe der Höhenlinien: Animation

In dem Applet oben werden bisher leider noch nicht alle Fälle korrekt dargestellt

Darboux Cycliden

Nach dem französischen Mathematiker Gaston DARBOUX sind neben anderem ein Satz, eine Summe und eben diese Flächen 4. Ordnung mit einer Gleichung des folgenden Typs benannt:
  • mit linearem und quadratischem und insgesamt mit reellen Koeffizienten
Dieser Flächentyp ist invariant unter Möbiustransformationen des Raumes. Viele bekannte interessante -, aber auch manche weniger geläufige Flächen zählen dazu: alle Quadriken, alle möglichen Torus-Formen und damit die wikipedia-bekannten DUPINschen Cycliden. Die oben und unten zu sehenden Flächen haben es noch nicht zu wikipedia geschafft! Experimentieren Sie mit den Koeffizienten:
  • sind 2 Koeffizienten gleich, so ist die Cyclide rotationssymmetrisch.
  • ist ein Koeffizient gleich +1, so schneidet die Cyclide die zugehörige Ebene in 2 sich auf dem Einheitskreis schneidenden Kreisen
  • ist ein Koeffizient -1, so schneidet die Cyclide die zugehörige Ebene in 2 elliptischen Kreisen mit den Büschelpunkten .
DARBOUXsche Cycliden sind nicht nur im übertragenen Sinne die räumlichen Fortsetzungen der ebenen oder sphärischen bizirkularen Quadriken .
Dieses geogebra-book Möbiusebene hat sich ausführlich mit diesem Kurventyp beschäftigt, viele der Eigenschaften dieser Kurven lassen sich einfach auf den Raum übertragen. DARBOUXsche Cycliden haben seltsamerweise einen längeren Dornröschen-Schlaf hinter sich. Das Interesse ist erwacht von seiten der "Freiform-Archithektur". Sucht man Literatur über bizirkulare Quartiken, so findet man überwiegend Lehr-Bücher über Starkstrom-Technik. Warum dies? Wesentlich an bizirkularen Quartiken ist, dass sie als konfokale Quartiken auftreten, wie man dies von konfokalen Kegelschnitten kennt: Sie entstehen, wenn zwei Kreisbüschel sich "überlagern": die Kurven schneiden sich immer orthogonal (man denke an elektro-magnetische Wellen!) Nun sind diese Wellen ja eigentlich nicht eben, sondern räumlich! Daher dürften diese Cycliden auch die Starkstrom-Techniker, oder eigentlich jeden interessieren, der mit Wellen im Raum zu tun hat. Der Grund dieser Aktivität? In dem oben genannten Artikel (siehe ) werden die Kreisscharen auf Darboux Cycliden charakterisiert:



Auf einer Darboux Cyclide können bis zu 6 verschiedene Kreisscharen liegen! Wir erlauben uns, zwei Bilder aus dem im Internet zugänglichen Artikel () als Hinweis auf diesen erstaunlichen Sachverhalt zu verwenden. Wir hätten gerne die impliziten Flächen in geogebra dargestellt, doch 2. ten Grades scheint eine Grenze zu sein. Die impliziten Kurven in der -Ebene und in der -Ebene darzustellen, gelingt uns auch nicht. Eigentlich sollte im unteren Applet die Situation in der -Ebene bzw. in der - Ebene dargestellt werden. Leider übersteigt die Anleitung zum Übertrag von Daten zwischen Applets unsere Fähigkeiten.
Erklärung zum Applet oben: Wie für bizirkulare Quartiken in der Ebene lassen sich die zugehörigen Flächen im Raum projektiv als Schnitt der Möbiusquadrik mit einer 2. Quadrik erzeugen - jetzt allerdings der Anschauung weniger zugänglich in einem 4-dimensionlen Raum. Im günstigsten Falle besitzt dieser Schnitt 5 Symmetrien: das sind 5 paarweise orthogonale Symmetrie-Kugeln, eine davon ist imaginär. Wählt man die reellen Symmetrie-Kugeln als die 3 Koordinaten-Ebenen und die Einheitskugel, so reduziert sich die Flächengleichung auf die Form:
  •  
Erkennbar schneidet diese Fläche jede der Koordinaten-Ebenen (sogar die Einheitskugel!) in einer bizirkularen Quartik in Normalform, wegen der Symmetrien liegen die Brennpunkte auf einer der Koordinaten-Achsen oder auf dem Einheitskreis der Ebene. Im Applet werden die Schnitte mit den Ebenen x=0 und y=0 als Parameterkurven in 3 D angezeigt; es gelingt meistens! Zur Parameterdarstellung von 2-teiligen bizirkularen Quartiken in Normalform (1 & 2). Wenn die Scheitel der Kurve auf einer Achse liegen, so lassen sich die Scheitelkoordinaten und die Brennpunktskoordinaten aus den biquadratischen Gleichungen mit einfachem "Quadratische Gleichungen lösen"-Wissen bestimmen.
Erstaunlicherweise haben wir in der wunderschönen Arbeit über die Darboux Cycliden (siehe oberhalb des Applets!) keinerlei Hinweis auf Brennpunkte dieser Flächen gefunden - damit auch keinen Hinweis, dass diese Flächen zu konfokalen Flächensystemen gehören, die den Raum ausfüllen wie die konfokalen Kegelschnitte die Ebene. Im Raum bekannt sind die konfokalen Quadriken. wikipedia, wo auch ein Bild zu finden ist; siehe die Aktivität Darboux Cycliden aus Kegelschnitten. Fast nur als Erfahrungswert - ohne Beweis: eine solche Darboux Cyclide mit 5 Symmetrien besitzt 3 * 4 Brennpunkte auf den Symmetrie-Ebenen oder - Kugeln. Diese liegen auf Koordinaten-Achsen oder Einheitskreisen. 2 * 4 liegen zusammen auf einer Achse!! (Warum?) Im Applet oben sind einfache räumliche Möbiustransformationen möglich (Ebenen-Tausch, Tausch der Einheitskugel mit einer Koordinaten-Ebene) Liegen die 2 Quadrupel-Paare nach geeigneten Transformationen der Brennpunkte auf der -Achse, so kann man mit dem Applet einige konfokale Darboux Cycliden mit ziemlich viel Geduld höhenlinienweise zeichnen lassen.
Unten Bilder, die mit dem obigen Applet erstellt wurden:



Zum Bild oben: Die Torus-ähnliche Cyclide (cyan), die zweiteilige Cyclide (rot) und die zweiteilige (ineinanderliegende) Cyclide (blau) sind konfokal und sie schneiden sich orthogonal. Die gelbe Cyclide liegt ganz innerhalb der blauen Cyclide ("parallel"). Durch jeden Punkt des Raumes (von den Brennpunkten abgesehen) gehen genau 3 paarweise orthogonale Cycliden der konfokalen Cyclidenschar. Die Flächen werden "gezeichnet" aus den Höhenlinien in -Richtung. Die Cycliden schneiden die Ebenen in bizirkularen Quartiken. Diese können in geToolbar Imagegebra implizit gezeichnet (mit x-y-Gleichung) und in -Richtung auf die gewünschte Höhe verschoben werden. Leider lassen sich die Schnitte mit den anderen Koordinatenebenen nicht in diesen implizit "zeichnen". Wie ermittelt man Kreise auf Darboux Cycliden? In dem zitierten Artikel findet man den Hinweis, dass doppelt berührende Kugeln die Fläche in zwei oder in einem ganz in der Fläche liegenden Kreisen schneiden. Die Darboux Cycliden schneiden die Symmetrie-Ebenen in bizirkularen Quartiken. Zu den doppelt berührenden Kreisen dieser Quartiken gehören aus Symmetriegründen Kugeln, welche die Cyclide doppelt berühren. Es muss fast nicht erwähnt werden: möbiusgeometrisch sind Ebenen Kugeln! Die Schnittkreise mit der Cyclide zerfallen oft in doppelt zählende Punktkreise, das sind die Berührpunkte. In vielen Fällen erhält man aber tatsächlich Kreise auf der Cyclide! Bekannte Beispiele: Vermutlich lassen sich weitere Eigenschaften der bizirkularen Quartiken auf die Cycliden übertragen:
  • Die Anzahl der Symmetrien bestimmt die Anzahl der verschiedenen doppelt berührenden Kreisscharen. Zu jede dieser Kreisscharen gehört eine Schar doppelt berührender Kugeln.
  • Die doppelt berührenden Kreise und damit die Quartik selber sind Winkelhalbierende der Brennkreise, also der Kreise, die durch jeweils zwei zusammengehörende Brennpunkte gehen.
  • Zu all diesen Kreisen gehören Kugeln, welche symmetrisch zu jeweils 2 der Symmetrie-Kugeln sind.
  • Die Quartik läßt sich mit Hilfe der Leitkreise "konstruieren". Die Leitkreise dürften auch für die Cycliden eine Rolle spielen.
  • Konfokale bizirkulare Quartiken sind die Lösungskurven spezieller elliptischer Differentialgleichungen. Diese Eigenschaften dürften im Raum eine Entsprechung besitzen!
In der Ebene lassen sich die Quartiken einfach durch die Lage der Brennpunkte charakterisieren:
  • 4 verschiedene konzyklische Brennpunkte ergeben 2-teilige Quartiken mit 4 Symmetrien.
  • 4 verschiedene Brennpunkte, die symmetrisch auf 2 orthogonalen Kreisen liegen, ergeben 1-teilige Quartiken mit 2 Symmetrien.
  • Fallen 2der 4 Brennpunkte zusammen, so ergeben sich die möbiusgeometrischen Bilder von konfokalen Kegelschnitten mit 2 Symmetrie-Achsen.
  • Ein 3-facher Brennpunkt ergibt entsprechend konfokale Parabeln mit einer Symmetrie.
  • 2 doppelt zählende Brennpunkte ergeben Kreisbüschel
  • ein 4-fach zählender Brennpunkt ist der Berührpunkt eines parabolischen Kreisbüschels.

Blaschke's Frage & Darboux Cycliden c - GeoGebra

2-teilige Quartik_ Parameterdarstellung