Przykład 4.3
Wyznaczymy dziedzinę, przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem
.
Rozwiązanie:Funkcja jest określona i różniczkowalna w przedziale . Posiada jeden punkt stacjonarny (należy on do dziedziny funkcji ), może więc mieć co najwyżej jedno ekstremum lokalne.
Ponieważ dla oraz dla , więc funkcja ma w punkcie stacjonarnym minimum lokalne o wartości . Ponadto jest rosnąca na przedziale i malejąca na przedziale .
Ilustracja graficzna:
Ćwiczenie 1.
Wyznacz samodzielnie dziedzinę, przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem . Wykorzystaj pierwszy aplet do sprawdzenia, czy poprawnie wskazane zostały punkty stacjonarne. Zmodyfikuj trzeci aplet w taki sposób, aby stanowił ilustrację do zadania.
Ćwiczenie 2.
Uzasadnij, że funkcja określona wzorem nie posiada ekstremów lokalnych. Wykorzystaj pierwszy i trzeci aplet.