Ejemplo 1
Investigar cuantas circunferencias se pueden dibujar que pasen por un punto. ¿Cuántas se podrán dibujar que pasen por dos puntos? ¿Cuántas por tres puntos? ¿Y por cuatro?
Comenzamos dibujando un punto A para plantear cuántas circunferencias podemos construir que pasen por A.
Una vez dibujado el punto A, podemos seleccionar la herramienta Circunferencia (centro-punto)
, dibujando a continuación una circunferencia que tenga un centro cualquiera que será el punto B que aparecerá al hacer clic en una parte libre de la vista gráfica y que pase por A, por lo que hacemos clic
sobre este punto.
¿Qué podemos mover para determinar cuántas circunferencias hay que pasen por A?
Es evidente que no podemos mover A ya que es el dato inicial, pero si podemos mover B para deducir que hay infinitas circunferencias.
Podemos hacer visible estas infinitas circunferencias utilizando la opción rastro. Antes, cambiamos el color de la circunferencia, abriendo las opciones disponibles en la vista gráfica que aparecerán al hacer clic sobre la circunferencia.
Al hacer clic sobre la circunferencia con el botón derecho del mouse, aparece un cuadro de diálogo en el que marcamos la opción Rastro.
Y ya sólo queda mover el punto B para que vayan apareciendo distintas circunferencias, cuya característica común es que todas pasan por el punto A.
, dibujando a continuación una circunferencia que tenga un centro cualquiera que será el punto B que aparecerá al hacer clic en una parte libre de la vista gráfica y que pase por A, por lo que hacemos clic
sobre este punto.
¿Qué podemos mover para determinar cuántas circunferencias hay que pasen por A?
Es evidente que no podemos mover A ya que es el dato inicial, pero si podemos mover B para deducir que hay infinitas circunferencias.
Podemos hacer visible estas infinitas circunferencias utilizando la opción rastro. Antes, cambiamos el color de la circunferencia, abriendo las opciones disponibles en la vista gráfica que aparecerán al hacer clic sobre la circunferencia.
Al hacer clic sobre la circunferencia con el botón derecho del mouse, aparece un cuadro de diálogo en el que marcamos la opción Rastro.
Y ya sólo queda mover el punto B para que vayan apareciendo distintas circunferencias, cuya característica común es que todas pasan por el punto A.Si ahora consideramos dos puntos A y B, sabemos que el número de circunferencias que pasan por esos dos puntos también es infinito.
Para ello, una vez dibujados los dos puntos, seleccionamos la herramienta Circunferencia por tres puntos
, haciendo clic sobre A, B y dibujando un tercer punto C.
Piensa cuántas circunferencias puedes dibujar que pasen por los puntos A y B.
Ya tenemos una circunferencia que pasa por A y B, por lo que moviendo el punto C podemos observar que irán apareciendo nuevas circunferencias que cumplen la condición pedida.
Al igual que en el caso anterior, cambiamos el color de la circunferencia y activamos el rastro, para que al mover C aparezcan las distintas circunferencias que nos permitirán mostrar que hay infinitas ya que C
podemos moverlo por las infinitas posiciones de la vista gráfica.
, haciendo clic sobre A, B y dibujando un tercer punto C.
Piensa cuántas circunferencias puedes dibujar que pasen por los puntos A y B.
Ya tenemos una circunferencia que pasa por A y B, por lo que moviendo el punto C podemos observar que irán apareciendo nuevas circunferencias que cumplen la condición pedida.
Al igual que en el caso anterior, cambiamos el color de la circunferencia y activamos el rastro, para que al mover C aparezcan las distintas circunferencias que nos permitirán mostrar que hay infinitas ya que C
podemos moverlo por las infinitas posiciones de la vista gráfica.Otra forma de resolver esta construcción sería con ayuda de la mediatriz, que se podrá utilizar si el alumnado ya conoce este concepto.
Si buscamos las circunferencias que pasan por A y B, el problema estará resuelto una vez que seamos capaces de determinar el centro.
El centro de la circunferencia cumple la propiedad de estar a la misma distancia de todos los puntos de la circunferencia; por lo que buscamos un punto que esté a la misma distancia de A y B. Los puntos que están a la misma distancia de otros dos puntos son los que se encuentran en su mediatriz.
Por tanto, dibujamos la mediatriz del segmento AB, utilizando la herramienta del mismo nombre.
.
El centro de una circunferencia que pase por A y B se debe encontrar en esta recta, por lo que dibujamos un punto sobre ella, utilizando la herramienta Punto.
Una circunferencia que cumple las condiciones pedidas la dibujaremos utilizando la herramienta Circunferencia (centro-punto), marcando C como C centro y A o B como puntos.
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El centro de una circunferencia que pase por A y B se debe encontrar en esta recta, por lo que dibujamos un punto sobre ella, utilizando la herramienta Punto.
Una circunferencia que cumple las condiciones pedidas la dibujaremos utilizando la herramienta Circunferencia (centro-punto), marcando C como C centro y A o B como puntos.Estudiemos ahora cuántas circunferencias pasan por tres puntos A, B y C. Para ello, comenzamos dibujando los tres puntos.
Como en los casos anteriores, aunque A, B y C son puntos libres, debemos considerar que no podemos moverlos de la posición que ocupan.
Si utilizamos la herramienta Circunferencia por tres puntos, al marcar A, B y C, observaremos
que aparece una única circunferencia, por lo que podemos deducir que sólo hay una.
Si resolvemos este caso intentando localizar el centro de una posible circunferencia, sabemos que estará a la misma distancia de A y B, por lo que se debe encontrar en la mediatriz del segmento AB que dibujamos utilizando la herramienta Mediatriz.
El centro también estará a la misma distancia de B y de C, por lo que se encontrará en la mediatriz del segmento BC que también dibujamos.
Observamos que las dos mediatrices se cortan en un único punto, por lo que sólo existirá una circunferencia que dibujaremos tomando como centro el punto de intersección de las mediatrices y que pase por cualquiera de los tres puntos dados.
Como en los casos anteriores, aunque A, B y C son puntos libres, debemos considerar que no podemos moverlos de la posición que ocupan.
Si utilizamos la herramienta Circunferencia por tres puntos, al marcar A, B y C, observaremos
que aparece una única circunferencia, por lo que podemos deducir que sólo hay una.
Si resolvemos este caso intentando localizar el centro de una posible circunferencia, sabemos que estará a la misma distancia de A y B, por lo que se debe encontrar en la mediatriz del segmento AB que dibujamos utilizando la herramienta Mediatriz.
El centro también estará a la misma distancia de B y de C, por lo que se encontrará en la mediatriz del segmento BC que también dibujamos.
Observamos que las dos mediatrices se cortan en un único punto, por lo que sólo existirá una circunferencia que dibujaremos tomando como centro el punto de intersección de las mediatrices y que pase por cualquiera de los tres puntos dados.Circunferencia por tres puntos
No hay más circunferencias que cumplan estas condiciones ya que A, B y C no podemos moverlos y el centro D tampoco ya que podemos observar que aparece como punto dependiente de los tres anteriores.
Este punto sabemos que es el circuncentro, centro de la circunferencia circunscrita del triángulo que tiene a A, B y C como vértices.
Circunferencia por tres puntos
Y por último, para determinar cuántas circunferencias pasan por cuatro puntos, la respuesta será una o ninguna, según que el cuarto punto dado esté o no sobre la circunferencia anterior, la única que pasa por
tres de esos puntos.