Extremos relativos y absolutos (III)
Ejemplos. Prueba del Teorema. Extremos absolutos en compactos.
Veamos un par de aplicaciones del Teorema sobre la clasificación de puntos críticos a partir del desarrollo de Taylor de orden .
Ejemplo. El primer ejemplo es justamente el que fue discutido usando la estructura algebraica misma de la ecuación. La función es . Los puntos críticos son .
La Hessiana en un punto genérico es,
De aquí que,
Tenemos por lo tanto es un punto de silla. Para los otros puntos críticos tenemos y la primera entrada igual a . Por lo tanto ambos puntos son mínimos relativos.
Es evidente la simpleza del método en comparación al trabajo particular, manual si se quiere, que si hizo inicialmente para distinguir la naturaleza de los tres puntos críticos.
Ejemplo. Consideremos la función . Queremos buscar máximos y mínimos relativos. Primero buscamos los puntos críticos, para ellos necesitamos resolver,
Esto equivale a resolver,
Cuyas soluciones son, el círculo y el origen .
Analicemos el punto crítico . Calculamos la matriz Hessiana,
El determinate es positivo y su primera entrada positiva. Concluimos que es un mínimo local.
Analicemos ahora los puntos críticos sobre el círculo . Pongamos entonces que es tal que . Calculamos la matriz Hessiana,
El determinante es cero, lo que implica que uno de los valores propios de la Hessiana es cero y por lo tanto el teorema no da información sobre la naturaleza del punto crítico. En este momento hay dos opciones, o se mira el desarrollo de Taylor a orden superior, o se inspecciona la expresión misma de la función para intentar extraer conclusiones. En este caso esta última opción es relativamente sencilla. Para ello observamos que, si , entonces, . Por lo tanto, como tenemos . Por otro lado, . De aquí que,
de donde conlcuimos que es un máximo local, pero también absoluto! La figura debajo muestra la gráfica de la función.
Ejemplo. Analicemos la función . Los puntos críticos son las soluciones de,
cuya única solución es . La matriz Hessiana en dicho punto es,
El desarrollo de Taylor a orden dos de es idénticamente cero! A este orden no es posible extraer ninguna conclusión. Para decidir la naturaleza del punto crítico es necesario o bien analizar el desarrollo de Taylor a un orden superior. Pero en este caso sin embargo es su mismo desarrollo de orden ! Es fácil ver que el es de hecho un punto que no es ni un máximo ni un mínimo relativo. Simplemente evaluamos a en , obteniendo que en un entorno de cero toma valores positivos y negativos, es decir, por encima y debajo de su valor en . El gráfico de la función puede verse debajo. Observe que el punto es similar a un punto silla pero no es un punto silla.
Prueba del Teorema de clasificación de puntos críticos.
Prueba. Vamos a probar el primer caso solamente (ver caso [1] en el enunciado del teorema en la sección anterior). El caso [2] se hace igual al [1] y el caso [3] queda como un simple ejercicio.
Supongamos para comenzar que es un punto crítico y que la función tiene el siguiente desarrollo de Taylor a orden dos,
con , . Es decir que la matriz Hessiana en este caso es,
(1)
y por lo tanto sus valores propios son . Como y , son positivos podemos asumir que , para .
Tenemos,
(2)
donde escribimos . Ahora, del teorema de Taylor sabemos que,
De aquí que si con suficientemente pequeño, tenemos que,
Por lo tanto,
Usando esta información en (2) concluimos si . Es decir que tiene un mínimo local en .
¿Qué tiene que ver esto con el caso [1] del enunciado del teorema? Al fin y al cabo solo probamos que cuando la matriz Hessiana tiene una forma diagonal particular, con determinante positivo y primera entrada positiva, entonces la función tiene un mínimo local en el punto crítico. Es decir, parecería que solo probamos el caso [1] del teorema en un caso particular. El punto es que en realidad no!
La razón es la siguiente. Si es un punto crítico y la matriz Hessiana tiene determinante positivo y primera entrada positiva, entonces tiene valores propios positivos, (digamos ) y existe una base de vectores propios ortonormales, (digamos ). Es decir , , , y .
Podemos usar entonces dichos vectores propios para construir un nuevo sistema de coordenadas centrado en cuyos ejes vayan precisamente en su dirección. En otras palabras, la relación entre y es,
El siguiente ejercicio explica que sucede con el Hessiano al usar las coordenadas (¿Puede hacerlo?).
Ejercicio. Demostrar usando la regla de la cadena, que tiene matriz Hessiana en igual a la de la expresión (1)!
Finalmente, usando este ejercicio y el cálculo hecho anteriormente, deducimos que tiene un mínimo local.