Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom

A Kocka() parancs és társai

Egy tetszőleges poliédert a csúcsok élek és lapok egyértelmű megadásával jeleníthetünk meg a Geogebrában. A szabályos poliéderek megadásának van ennél egyszerűbb (??) megadási módja is: a GeoGebra parancsai között. Elegendő megadnunk két szomszédos csúcsukat. Ezt e megadási módot fogjuk itt röviden bemutatni, amit azonban csak arra az esetre ajánlunk olvasóinknak, ha hirtelen felindulásból egy pillanat alatt a képernyőre szeretnénk varázsolni egy - egy szabályos poliédert

A Kocka()

Vegyünk fel (akár a találomra) két pontot A-t és B-t,majd írjuk be a parancssorba a Kocka(A,B) parancsot! Ezzel máris megjelenik a GeoGebra 3D terében egy kocka, amelynek két szomszédos csúcsa A és B

Mi történt?

Ha egy üres munkalapról indulva írtuk be a parancsot, akkor megjelent egy szokásos betűzésű kocka, amely egyik lapjának csúcsai rendre A, B, C és D , a vele szemközti lapé E, F, G, H - ahogy megszoktuk. Az algebra ablakban csak ez a két pont és a beírt parancs van. A háttérben (mellékalakzatként) azonban ott vannak a kocka további 6 csúcsának 6 lapjának és 12 élének az adatai. Közülük a C pont egy olyan körön mozgatható, amelynek a sugara AB, középpontja B és síkja merőleges AB-re: C=Pont(Kör(B, Távolság(A, B), Szakasz(A, B))) A kocka további csúcsait rendere a Kocka(A,B,C) parancs határozta meg. A GeoGebra Kocka() parancsának az alkalmazásakor megengedett három pont megadása is, ebben az esetben viszont teljesülnie kell annak, hogy a három pont egy egyenlő szárú, derékszögű háromszöget alkosson, ahol a parancs középső pontja a derékszögű csúcs. Három így megadott pontra két olyan kocka is illeszthető, amelynek ezek a szomszédos csúcsai. Ezek közül azt kapjuk eredményül amelyre a BA, BC és BF egymásra páronként merőleges vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak: a három e sorrendben felsorolt vektorra a jobb kezünk hüvelyk, mutató és középső ujját tudjuk ráilleszteni. Így az A ,B, C pontokra illesztett másik kockát a Kocka(C,B,A) paranccsal kapjuk meg. A Kocka() parancs harmadik bemenő adata lehet egy vektor is. Ennek a lehetőségnek a felderítését olvasóinkra bízzuk.
Image

Legyünk egy kicsit igényesebbek!

Adjuk meg a kocka három csúcsát úgy, hogy a Kocka() parancs azt a kockát adja eredményül, amelynek a középpontja az origó, továbbá egyik csúcsa legyen az (1,1,1) pont! Ehhez elegendő egyetlen parancs: Kocka((-1,1,1),(1,1,1),(1,-1,1)) Így azonban a kockát meghatározó pontokra nem tudunk hivatkozni. Ezért célszerű előbb felvennünk a fix A=(-1,1,1), B=(1,1,1), C=(1,-1,1) pontokat, majd ezt követően a Kocka(A,B,C) parancsot.

Az öt szabályos poliéder

Hasonlóan két - két ponttal meg tudjuk adni a többi szabályos poliédert is, rendre a Teraéder(), Oktaéder(), Dodekaéder(), Ikozaéder() parancsokkal. Figyeljük meg, hogy a kiválasztott poliéder egyértelmű megoldásához szükséges harmadik pontot egy-egy kör pontjakként kapjuk meg. Ez a tetraéder, oktaéder é az ikozaéder esetében ugyanaz: mindhárom poliédert ugyanarra a háromszögre építettük fel. Egyedül a dodekaéder egy lapjára illeszkedő harmadik csúcs megadása igényel kissé mélyebb ismereteket.

Hol a közepe?

Fokozzuk az igényeket! Most rendre úgy fogjuk megadni a szabályos poliédereket, hogy mindegyikre teljesüljenek az alábbi feltételek.
  • a középpontja legyen az origó;
  • A koordináta síkok legyenek a szimmetria síkjai (ha lehetséges).
A zárójeles feltételre azért van szükség, mert a szabályos tetraédernek csak két szimmetriasíkja van.