Rechnen mit Matrizen
Matrizen addieren und subtrahieren
Die Addition und Subtraktion von Matrizen lässt sich durchführen, wenn die beiden Matrizen jeweils vom gleichen Typ sind. Etwas unmathematischer ausgedrückt müssen diese die selbe „Gestalt“ aufweisen. Man addiert oder subtrahiert jeweils die entsprechenden Komponenten der beiden Matrizen.
Skalare Multiplikation (Zahl mal Matrix)
Eine Matrix A wird mit einer reellen Zahl r (auch Skalar genannt) multipliziert, indem man jedes Element von A mit r multipliziert:
Multiplikation von Matrizen
Um zwei Matrizen miteinander multiplizieren zu können, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen. Wird eine Matrix mit einem Vektor multipliziert, muss folgerichtig die Spaltenzahl der Matrix mit der Zahl der Komponenten des Vektors übereinstimmen.
Skalarmultiplikation (Zahl mal Matrix)
Eine Matrix A wird mit einer reellen Zahl r (auch Skalar genannt) multipliziert, indem man jedes Element von A mit r multipliziert:
Matrizen addieren und subtrahieren
Die Addition und Subtraktion von Matrizen lässt sich durchführen, wenn die beiden Matrizen jeweils vom gleichen Typ sind. Etwas unmathematischer ausgedrückt müssen diese die selbe „Gestalt“ aufweisen. Man addiert oder subtrahiert jeweils die entsprechenden Komponenten der beiden Matrizen.
Gegeben sind die Matrizen A und B
Es folgt:
Die Addition von Matrizen ist – ebenso wie eine normale Addition – kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Matrizen ist beliebig: A+B=B+A. Subtraktion ist analog!
Es folgt:
Die Addition von Matrizen ist – ebenso wie eine normale Addition – kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Matrizen ist beliebig: A+B=B+A. Subtraktion ist analog!Aufgaben
Matrix mal Vektor
Damit eine solche Matrix-Vektor-Multiplikation durchgeführt werden kann, muss die Spaltenzahl der Matrix mit der Zahl der Komponenten des Vektors übereinstimmen.
Gegeben sei die reelle Matrix und der reelle (Spalten-)Vektor:
Um das erste Element des Ergebnisvektors zu berechnen, betrachtet man die erste Zeile von A, multipliziert die jeweils entsprechenden Einträge dieser Zeile mit denen des Ausgangsvektors und summiert die Ergebnisse auf (die Sternchen stehen für noch nicht berechnete Elemente):
Für das zweite Element des Ergebnisvektors betrachtet man entsprechend die zweite Zeile von A und berechnet analog:
Um das erste Element des Ergebnisvektors zu berechnen, betrachtet man die erste Zeile von A, multipliziert die jeweils entsprechenden Einträge dieser Zeile mit denen des Ausgangsvektors und summiert die Ergebnisse auf (die Sternchen stehen für noch nicht berechnete Elemente):
Für das zweite Element des Ergebnisvektors betrachtet man entsprechend die zweite Zeile von A und berechnet analog:
Matrix mal Matrix
Um zwei Matrizen miteinander multiplizieren zu können, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen. Gegeben seien die beiden reellen Matrizen:
Da die Matrix A ebenso viele Spalten wie die Matrix B Zeilen besitzt, ist die Matrizenmultiplikation A⋅B durchführbar. Nachdem A zwei Zeilen und B zwei Spalten hat, wird das Matrizenprodukt ebenfalls zwei Zeilen und Spalten aufweisen. Zur Berechnung des ersten Matrixelements der Ergebnismatrix werden die Produkte der entsprechenden Einträge der ersten Zeile von A und der ersten Spalte von B aufsummiert (die Sternchen stehen für noch nicht berechnete Elemente):
Für das nächste Element der Ergebnismatrix in der ersten Zeile und zweiten Spalte wird entsprechend die erste Zeile von A und die zweite Spalte von B verwendet:
Dieses Rechenschema setzt sich nun in der zweiten Zeile und ersten Spalte fort:
Es wiederholt sich bei dem letzten Element in der zweiten Zeile und zweiten Spalte:
Das Ergebnis ist das Matrizenprodukt A⋅B.
Da die Matrix A ebenso viele Spalten wie die Matrix B Zeilen besitzt, ist die Matrizenmultiplikation A⋅B durchführbar. Nachdem A zwei Zeilen und B zwei Spalten hat, wird das Matrizenprodukt ebenfalls zwei Zeilen und Spalten aufweisen. Zur Berechnung des ersten Matrixelements der Ergebnismatrix werden die Produkte der entsprechenden Einträge der ersten Zeile von A und der ersten Spalte von B aufsummiert (die Sternchen stehen für noch nicht berechnete Elemente):
Für das nächste Element der Ergebnismatrix in der ersten Zeile und zweiten Spalte wird entsprechend die erste Zeile von A und die zweite Spalte von B verwendet:
Dieses Rechenschema setzt sich nun in der zweiten Zeile und ersten Spalte fort:
Es wiederholt sich bei dem letzten Element in der zweiten Zeile und zweiten Spalte:
Das Ergebnis ist das Matrizenprodukt A⋅B.