Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (21. 02. 2023)
Kapitel: Neue 6ck-Gewebe aus Kreisen
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Die doppelt-berührenden, zur -Achse orthogonalen Kreise im Inneren der Ellipse (Brennpunkte )
können mit dem Parameter durch eine Gleichung beschrieben werden:
ist zugleich der Mittelpunkt.
Setzt man in diese Gleichung die Koordinaten eines vorgegebenen Punktes ein,
so erhält man aus dieser quadratischen Gleichung die 2 Mittelpunkte der 2 doppelt-berührenden Kreise durch .
Die doppelt-berührenden Kreise können auf mindestens 2 Weisen konstruiert werden:
Konstruktion 1:
Schneiden sich ein Kreis c aus dem hyperbolischen Kreisbüschel um die Brennpunkte f und f'
und ein Senkrechte l zur -Achse auf der Ellipse, so ist derjenige Mittelkreis von Kreis c und Gerade l,
dessen Mittelpunkt in der Ellipse liegt, ein doppelt-berührender Kreis.
----> Ein "Mittelkreis" zweier Kreise ist ein Kreis, an welchem invertiert die beiden Kreise vertauscht werden.
Geraden sind möbiusgeometrisch Kreise (durch ).
Schneiden sich c und l auf der Ellipse, so besteht zwischen den Schnittpunkten t, t' von c mit der -Achse
und dem Schnittpunkt t'' von l mit der -Achse eine spezielle Beziehung: t'' entsteht durch Spiegelung am
Haupt-Scheitelkreis der Ellipse aus einem der Schnittpunkte t, t'.
Diese reelle Konstruktion liefert doppelt-berührende Kreise auch dann, wenn sich c und l nicht reell auf der Ellipse schneiden!
Mit dieser Konstruktion ergibt sich obige Kreisgleichung für die doppelt-berührenden Kreise.
Damit werden die 2 doppelt-berührenden Kreise durch einen Punkt p0 in Ellipsen-Inneren berechnet.
Im Allgemeinen Falle können wir keine geometrische Idee zur Konstruktion diese Kreise erkennen!
Ist jedoch der Brennkreis um 0 durch f und f' zugleich der Scheitelkreis durch sy, so kann man eine einfache
Konstruktionsvorschrift für die Mittelpunkte der beiden Kreise durch p0 ablesen!
Konstruktion 2:
Schneiden sich konzentrische Kreise um die beiden Brennpunkte f und f' auf der Ellipse, so erhält man auf
ähnliche Weise die doppelt-berührenden Kreise als Mittelkreise.
Auch die oben geschilderte Beziehung zwischen den Achsenschnittpunkten der beiden kozentrischen Kreise erkennt man,
gespiegelt wird allerdings jetzt an den Scheitel-Tangenten.