Berechnung der Kreise

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (21. 02. 2023) Kapitel: Neue 6ck-Gewebe aus Kreisen Diese Seite ist auch eine Aktivität des Geogebra-Books Sechseck-Netze

Die doppelt-berührenden, zur

-Achse orthogonalen Kreise

im Inneren der Ellipse (Brennpunkte

) können mit dem Parameter

durch eine Gleichung beschrieben werden:

ist zugleich der Mittelpunkt. Setzt man in diese Gleichung die Koordinaten eines vorgegebenen Punktes

ein, so erhält man aus dieser quadratischen Gleichung die 2 Mittelpunkte der 2 doppelt-berührenden Kreise durch

. Die doppelt-berührenden Kreise können auf mindestens 2 Weisen konstruiert werden: Konstruktion 1: Schneiden sich ein Kreis c aus dem hyperbolischen Kreisbüschel um die Brennpunkte f und f' und ein Senkrechte l zur

-Achse auf der Ellipse, so ist derjenige Mittelkreis von Kreis c und Gerade l, dessen Mittelpunkt in der Ellipse liegt, ein doppelt-berührender Kreis. ----> Ein "Mittelkreis" zweier Kreise ist ein Kreis, an welchem invertiert die beiden Kreise vertauscht werden. Geraden sind möbiusgeometrisch Kreise (durch

). Schneiden sich c und l auf der Ellipse, so besteht zwischen den Schnittpunkten t, t' von c mit der

-Achse und dem Schnittpunkt t'' von l mit der

-Achse eine spezielle Beziehung: t'' entsteht durch Spiegelung am Haupt-Scheitelkreis der Ellipse aus einem der Schnittpunkte t, t'. Diese reelle Konstruktion liefert doppelt-berührende Kreise auch dann, wenn sich c und l nicht reell auf der Ellipse schneiden! Mit dieser Konstruktion ergibt sich obige Kreisgleichung

für die doppelt-berührenden Kreise. Damit werden die 2 doppelt-berührenden Kreise durch einen Punkt p₀ in Ellipsen-Inneren berechnet. Im Allgemeinen Falle können wir keine geometrische Idee zur Konstruktion diese Kreise erkennen! Ist jedoch der Brennkreis um 0 durch f und f' zugleich der Scheitelkreis durch s_y, so kann man eine einfache Konstruktionsvorschrift für die Mittelpunkte der beiden Kreise durch p₀ ablesen! Konstruktion 2: Schneiden sich konzentrische Kreise um die beiden Brennpunkte f und f' auf der Ellipse, so erhält man auf ähnliche Weise die doppelt-berührenden Kreise als Mittelkreise. Auch die oben geschilderte Beziehung zwischen den Achsenschnittpunkten der beiden kozentrischen Kreise erkennt man, gespiegelt wird allerdings jetzt an den Scheitel-Tangenten.

Wozu diese Berechnung?

Durch jeden Punkt p im Ellipsen-Inneren gehen 2 doppelt-berührende Kreise und ein 3.-ter Kreis: der Kreis durch p und die Brennpunkte. Diese 3 Kreis-Scharen erzeugen dann und nur dann ein 6-Eck-Netz aus Kreisen, wenn der Kreis um den Ellipsen-Mittelpunkt durch die Brennpunkte zugleich durch die Scheitel auf der

-Achse geht (Exzentrizität

). Zur Konstruktion eines solchen 6-Eck-Netzes ist die Berechnung der doppelt-berührenden Kreise nützlich. Links zu diesen 6-Eck-Netzen aus Kreisen:

Berechnung der Kreise

Wozu diese Berechnung?

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