Details zum schiefenWurf mit Luftwiderstand
Luftwiderstand proportional zur Geschwindigkeit
Nimmt man den Luftwiderstand eines Körpers mit Masse m proportional zur Geschwindigkeit v in der Form der Stokeschen Reibung ( Viskosität der Luft, r Radius der Kugel, v Geschwindigkeit) an, so erhält man als Differentialgleichung
,
wobei , und sind.
Diese Differentialgleichung kann auch in Komponentenschreibweise angeschrieben werden Mit den Anfangsbedingungen x(0) = 0, y(0) = h, und findet man die exakte Lösung,
Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit
Etwas komplizierter ist der Fall bei der Annahme eines Luftwiderstands, der proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist. Diese Newton-Reibung tritt beispielsweise bei Luftströmungen mit Turbulenzen auf.
In diesem Fall lässt sich der Luftwiderstand durch
(cw Widerstandsbeiwert; A Querschnittsfläche, Dichte der Luft, v Geschwindigkeit) beschreiben. Die Differentialgleichung für die Bewegung eines Körpers lautet unter dieser Annahme
und in Komponentenschreibweise
Leider ist dies ein System von nichtlinearen und gekoppelten Differentialgleichung, das analytisch nicht lösbar ist. Eine numerische Berechnung kann z. B. mittels eines Runge-Kutta-Verfahrens durchgeführt werden. Eine Lösung wird möglich, wenn man das vereinfachte Differentialgleichungssystem verwendet
Die Lösung für dieses Problem kann analytisch gefunden werden und ist im Applet >>Schiefer Wurf mit Reibung verwendet worden. Für den aufsteigenden bzw. absteigenden Teil der Flugbahn müssen zwei verschiedene Terme zur Berechnung der Koordinaten herangezogen werden. Aus diesem Grund erscheinen in der Animation die beiden Punkte R (aufsteigender Teil) und S (absteigender Teil). Die Lösung lautet mit der Abkürzung und der Steigzeit