Details zum schiefenWurf mit Luftwiderstand

Luftwiderstand proportional zur Geschwindigkeit

Nimmt man den Luftwiderstand eines Körpers mit Masse m proportional zur Geschwindigkeit v in der Form der Stokeschen Reibung   Viskosität der Luft, r Radius der Kugel, v Geschwindigkeit) an, so erhält man als Differentialgleichung

 ,

wobei , und sind.

Diese Differentialgleichung kann auch in Komponentenschreibweise angeschrieben werden

Mit den Anfangsbedingungen x(0) = 0, y(0) = h, und findet  man die exakte Lösung

,

Luftwiderstand proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit

Etwas komplizierter ist der Fall bei der Annahme eines Luftwiderstands, der proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist. Diese Newton-Reibung tritt beispielsweise bei Luftströmungen mit Turbulenzen auf. In diesem Fall lässt sich der Luftwiderstand durch

(cw Widerstandsbeiwert; A Querschnittsfläche,  Dichte der Luft, v Geschwindigkeit) beschreiben. Die Differentialgleichung  für die Bewegung eines Körpers lautet unter dieser Annahme

und in Komponentenschreibweise

Leider ist dies ein System von nichtlinearen und gekoppelten Differentialgleichung, das analytisch nicht lösbar ist. Eine numerische Berechnung kann z. B. mittels eines Runge-Kutta-Verfahrens durchgeführt werden. Eine Lösung wird möglich, wenn man das vereinfachte Differentialgleichungssystem verwendet

Die Lösung für dieses Problem kann analytisch gefunden werden und ist im Applet >>Schiefer Wurf mit Reibung verwendet worden. Für den aufsteigenden bzw. absteigenden Teil der Flugbahn müssen zwei verschiedene Terme zur Berechnung der Koordinaten herangezogen werden. Aus diesem Grund erscheinen in der Animation die beiden Punkte R (aufsteigender Teil) und S (absteigender Teil). Die Lösung lautet mit der Abkürzung und der Steigzeit