Valor absoluto e inecuaciones
El valor absoluto de un número a, representado como |a|, es su valor numérico (con signo positivo).
Por ejemplo,
1. Función valor absoluto
Matemáticamente, el valor absoluto es una función (de una variable) de los reales en los reales:
y se define como una función a trozos:
Esta función es continua en los reales y derivable en .
La gráfica de la función es:
Notemos que en los reales negativos la gráfica es la de y = - x y en los positivos es la de y = x.
y se define como una función a trozos:
Esta función es continua en los reales y derivable en .
La gráfica de la función es:
Notemos que en los reales negativos la gráfica es la de y = - x y en los positivos es la de y = x.2. Propiedades del valor absoltuo
3. Inecuaciones con valor absoluto
Inecuación 1
Escribimos la inecuación como
Por tanto, la solución es
Inecuación 2
Podemos escribir la inecuación como
Tenemos que resolver las dos inecuaciones.
Podemos hacerlo al mismo tiempo:Sumamos 1:
O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:
De ambas formas obtenemos la misma solución:
Inecuación 3
Escribimos la inecuación como:
Vamos a trabajar primero con las dos inecuaciones al mismo tiempo:
Sumamos 5:
Sumamos x:
Ahora tenemos que separarlas para obtener la solución:
Por un lado:
Por otro:
En esta segunda inecuación hemos obtenido una relación que siempre se cumple. Luego no nos aporta restricciones a la solución.Por tanto, la solución es
Escribimos la inecuación como
Por tanto, la solución es
Inecuación 2
Podemos escribir la inecuación como
Tenemos que resolver las dos inecuaciones.
Podemos hacerlo al mismo tiempo:Sumamos 1:
O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:
De ambas formas obtenemos la misma solución:
Inecuación 3
Escribimos la inecuación como:
Vamos a trabajar primero con las dos inecuaciones al mismo tiempo:
Sumamos 5:
Sumamos x:
Ahora tenemos que separarlas para obtener la solución:
Por un lado:
Por otro:
En esta segunda inecuación hemos obtenido una relación que siempre se cumple. Luego no nos aporta restricciones a la solución.Por tanto, la solución es
