Derivatan
Derivatan och tangenter
Studera sambandet mellan värdet på lutningen av tangenterna och derivatan i appletten nedan.
Drag de ljusgröna punkterna upp och ned för att ändra lutningen så att du får 6 tangenter. Kolla sedan vilken graf de punkterna bildar och jämför med derivatan.
Nollställ och ändra gärna till någon annan funktion och studera.
Appletten är gjord av Jens Michelsen (https://www.geogebra.org/jens.michelsen) men redigerad av mig.
Derivatans definition
För att derivera en funktion för ett visst värde kan man använda derivatans definition:
Låt oss försöka derivera en ganska enkel funktion för att se vad som händer.
Vi deriverar då , en del vet nog redan derivatan till denna.
Först är det lite formalia. Vi skriver upp att vi ska hitta derivatan då som följs av hur vi ska göra det.
I tredje steget är det då saker händer. Vi byter ut x i mot och 2, som det står. Sedan kan vi subtrahera tvåorna mot varandra.
I fjärde steget ser det ut som att vi ska dividera med 0, men vi kan dela h med h så att det blir 1.
Detta ger att i femte steget har vi inga h kvar, alltså gränsvärdet blir inga problem.
Låt oss nu derivera då .
Här kanske vi ska börja prata om fjärde steget. Här har vi gjort första kvadreringsregeln och då kan vi se att vi kan subtrahera bort med varandra.
I femte steget innehåller bägge termer i täljaren h, vi kan då dividera med h.
I sjätte steget kan vi nu lugnt låta det kvarvarande h:et bli 0 vilket lämnar oss med derivatan.
Låt oss nu göra en svårare då .
Ja, kolla genom vad som gjorts...
Tredje steget är att sätta in i funktionen och sedan handlar det om att förenkla till dess att man får bort alla konstanter så man kan dividera med h och sedan göra gränsvärdet.
Derivera en funktion
Eftersom detta är matematik så vill man inte uppfinna hjulet var gång man ska ha reda på en derivata för en funktion.
Därför kan vi derivera en funktion och använda den direkt.
Vi deriverar då och .
I stället för att sätta ett värde deriverar vi funktionen.
Vi har fått fram att derivatan är en funktion för sig!
Nu kan vi beräkna de två derivatorna med denna funktion.
Deriveringsregler
Som sagt tidigare, man vill inte uppfinna hjulet var gång...
Det finns några deriveringsregler, "genvägar" man kan använda.
Som för den typen av funktioner ovan kan man använda:
där k är en konstant
Den säger att man multiplicerar konstanten k med exponenten n och sedan minskar exponenten med 1.
Om vi kikar på den trevliga ovan igen.
Vi ska derivera
.
Ett tips är att du lär dig detta...
Vi deriverar
.
Men om man saknar konstanten k? Då är den ju 1 eftersom vi fortfarande har ett uttryck...
Vi deriverar
.
Om det saknas exponenten n? Då är den ju 1 eftersom vi fortfarande har en bas...
Vi deriverar
. En genväg att tänka är att om man ska derivera x så "försvinner den".
Men om vi bara har konstanten k?
Vi deriverar
. En konstant blir alltid 0. Vi kan ju skriva dit x med exponenten 0, då kommer allt multipliceras med 0 och blir då 0.
En annan regel är om man deriverar polynom. Alltså lite förenklat om funktionen innehåller + eller -.
.
Man deriverar var del för sig.
Låt oss ta ett exempel ovan som var väldigt lång derivering.
Vi deriverar
Efter lite övning kan man hoppa direkt till svaret.
Sammanfattning deriveringsregler
Vanliga funktioner deriveras snabbt med:
Om det är ett polynom deriveras var del för sig:
Derivatan av en konstant är 0: