El cuerpo de los puntos de una recta
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra GeoGebra Principia.
Continuemos con nuestro proceso de construcción de la estructura. Ahora definiremos las cuatro operaciones elementales.
- Suma: Para obtener A + B, reflejamos O en MAB obteniendo un nuevo punto de r.
- Resta: Para obtener A − B, sumamos A + B'.
- Multiplicación: Creamos el producto construyendo triángulos semejantes, obteniendo un nuevo punto de r.
- División: Para obtener A/B, multiplicamos A x B–1. La división no es conmutativa.
- Orden. La simetría I' O I permite definir una RELACIÓN DE ORDEN:
A ≤ O :⇔AI' ≤ AI A ≤ B :⇔A − B ≤ O
Estructura. Por todo lo anterior, el conjunto de los puntos de la recta r, dotado de las operaciones suma y producto así definidas, constituye una estructura similar ("cuerpo ordenado") a la de ℝ. De hecho, podemos establecer una biyección (isomorfismo) entre ambas estructuras:(r, O, +, ×) → (ℝ, +, ×)
haciendo corresponder a cada punto P de r el número real –OP si P<O y el número real OP if P≥O.- Nota: Observemos que no entramos en la cuestión, más espinosa, de cómo construir geométricamente todos los puntos de la recta (completitud de la recta real). Damos por supuesto que a todo punto le corresponde un número y viceversa. Ahora bien, si deseamos restringirnos a los puntos construibles con las operaciones señaladas, podemos establecer un isomorfismo de esos puntos (ya no sería toda la recta) con el cuerpo de los números construibles.
Los puntos de una recta no son los únicos objetos geométricos que podemos dotar de la estructura de cuerpo. Nos vale cualquier otro conjunto de objetos que compartan la misma definición en la cual solo hay un punto libre residente en una recta. En las siguientes construcciones mostraremos algunos ejemplos.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.