Mantenersi in forma ... ma cambiando dimensioni
similitudini dirette e inverse
- composizione di una isometria diretta con una omotetia: le isometrie, sia dirette sia invertenti, mantengono la grandezza di una figura, ossia tutte le distanze fra i punti della figura.
Se, prima di applicare una isometria, si applica una omotetia Hx (con x reale non nullo), si può effettuare una dilatazione (se |x|>1) o una contrazione (se |x|<1) delle dimensioni della figura (nel caso in cui x=1 l'omotetia diventa l'identità e l'isometria non viene, quindi, modificata). Nel caso dell'isometria diretta, possiamo considerare tale trasformazione composta (omotetia seguita da isometria) come la composizione di una roto-omotetia e di una traslazione; infatti:
Tv
Rw = TvR vers(w)H |w|.
Tale tipo di trasformazione è detta similitudine diretta
- similitudine inversa: composizione di una isometria inversa con una omotetia: se facciamo precedere una similitudine diretta da una coniugazione otteniamo una similitudine inversa (o invertente):
TvRwconj = TvRvers(w)H|w|conj
dal momento che un'omotetia commuta con la coniugazione (provarlo come semplice esercizio), ricaviamo che la precedente trasformazione coincide con l'omotetia seguita dalla isometria invertente: TvRvers(w)conjH|w|
- ordine di composizione: gli ingredienti compositivi delle trasformazioni che abbiamo esaminato sono riducibili a tre tipi: la coniugazione (conj), le roto-omotetie non degeneri (Rw con w≠0) e le traslazioni (Tv). Anche se l'ordine di composizione determina la particolare trasformazione ottenuta, esso non influisce sul tipo cui essa appartiene (ad esempio l'essere una isometria o una similitudine diretta o invertente) in quanto, presi due a piacere fra tali tre "tipi base" di trasformazione, essi o commutano perfettamente o sono commutabili a patto di cambiare l'indice di uno dei componenti
- proprietà delle similitudini:
- formula di una similitudine diretta: (TvRw)(z) = w•z + v con w≠0
- formula di una similitudine inversa: (TvRwconj)(z) = w•z + v con w≠0
- composizione di similitudini dirette: come la composizione di due movimenti dà un movimento, allo stesso modo (e per lo stesso motivo) la composizione di due similitudini dirette dà una similitudine diretta
- composizione di similitudini inverse: si elidono le due componenti conj (in quanto: conjconj=id) e la composizione di due similitudini invertenti dà una similitudine diretta.