0802 A háromszögszerkesztés alapesetei
Feladat:
Szerkesszük meg a P-modellen azt a pozitív körüljárású ABC háromszöget, amelynek a B csúcsa egy tetszőlegesen adott [A,D) félegyenesre esik, és - csúszkákkal változtatható számokkal - adott:
- három oldala;
- két oldala és az általuk közbezárt szöge;
- két oldala és a nagyobbikkal szemben fekvő szöge;
- egy oldala és az ezen fekvő két szöge;
- egy oldala, az egyik ezen fekvő, valamint az ezzel szemközti szöge;
- három szöge.
- A hiperbolikus geometriában két háromszög egybevágó, ha mindhárom szögük egyenlő.
Megjegyzések
Mind a hat egybevágósági alapeset szerkesztésénél azt az utat választottuk, hogy elsőként előállítottuk a rajzlap koordináta rendszeréhez ill. a P-modell alapköréhez viszonyított speciális helyzetű A0B0C0 háromszöget, majd ebből - a már alkalmazott eljárással - kaptuk meg az általános helyzetű ABC háromszöget.
Már említettük, hogy ha csúszkákkal adunk meg szakaszokat és szögeket a P-modellen, akkor ez a művelet nem tekinthető (euklideszi értelemben vett) alapszerkesztésnek. Épp úgy, mint a szögmérő használata sem az iskolai szerkesztések alkalmával. )
Az viszont érdekes kérdés, hogy miután a csúszkákkal megadott rajz objektumok megjelennek a modellen, maga a szerkesztési feladat megoldható-e a P-modell eszköztárával.
- Adott három oldal. Az A0B0C0 Δ szerkesztése a "klasszikus" utat követi. Az A0 és B0 pontok ismeretében C0 az A0 középpontú c1 sugarú és B0 középpontú a1 sugarú körök - egyik - metszéspontja lesz. A csúszkák alsó és felső határának a beállításánál arról kellett gondoskodnunk, hogy bármely oldal hosszának a másik két oldal hossza közötti különbségnél nagyobbnak, összegénél kisebbnek kell lennie. Ez azzal a "jelenséggel" jár, hogy bármely csúszka értékét változtatva a másik kettő határai változnak, így látszólag azok is mozognak. Egy szakasz egyértelmű megadása nem csak a mérőszám (csúszka értéke) megadásától, hanem a mértékegység (E pont) megválasztásától is függ. Így természetes, hogy a mértékegységet változtatva a kapott háromszög szögei is változnak. (Ellentétben az euklideszi geometriában megszokottakkal.)
- Adott két oldal és a közbezárt szög. Itt, és a továbbiakban többször is használtuk a GeoGebra Forgatás() eljárását. A megadott adatokból mindig megszerkeszthető a keresett háromszög, ezért a szakaszok hosszának "önkényesen" adtunk egy-egy felső korlátot.
- Adott két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög. A szerkesztés az euklideszi szerkesztéssel megegyező alapszerkesztés. Megjegyezzük azonban, hogy ha ugyanezekből az α , a, c adatokból a P modelltől függetlenül számolási feladatként kellene meghatároznunk a b oldalt és a β szöget, igen kellemetlen egyenlettel, vagy egyenletrendszerrel találnánk szemben magunkat. Ugyanis nem tudnánk kihasználni, hogy a háromszög két szöge egyértelműen meghatározza a harmadikat. (Ez a megállapítás a következő két alapesetre is vonatkozik.)
- Adott egy oldal és a rajta fekvő két szög. Addig, amig az euklideszi geometriában a megoldhatóság feltétele csak az, hogy a két adott szög összege kisebb legyen az egyenesszögnél, itt nehéz meghatározni a megfelelő adatok megadásához szükséges alsó és felső korlátokat. Ezek ugyanis erősen függenek egymástól. Ezért most (és a következő alapesetnél is) eltekintettünk attól, hogy csak olyan adatokat adjunk meg, amelyekhez valóban egyértelműen létezik az adatoknak megfelelő háromszög. Ha nincs a feladatnak megoldása, azt jelzi a program. A teljes, lényegében négy paramétertől függő diszkussziót igényesebb olvasóinkra bízzuk.
- Adott egy oldal, az egyik rajta fekvő és a vele szemközti szög. Ebben a szerkesztésben már szükségünk volt külső segítségre: a szinusztételre. A szerkesztésből azonban látszik, hogy épp úgy mint az euklideszi geometriában ha két oldal és a kisebbikkel szemben fekvő szög adott, akkor esetenként két megoldás is lehetséges, máskor egy sincs. (A P-modell HMetszéspont2[] eszköze maga is kizárja a két megoldás esetét.)
- Adott három szög. Ezt az alapesetet a szinusztétel kétszeri alkalmazását követően visszavezettük a legkönnyebb 2. alapesetre. Figyeljük meg, hogy az itt kapott eredmény nem függ a távolságegység megadásától.