Um caso especial de um pêndulo de comprimento variável
Problema
Estudar o movimento de um pêndulo que consiste em um fio de massa insignificante e de comprimento que serpentea ao rededor de um cilindro de raio fixo e na extremidade do qual é fixado um objeto, assumido como pontual.
Procedimento
Para determinar as equações diferenciais deste pêndulo vamos usar o Lagrangiano. Devemos encontrar a relação entre as coordenadas do extremo do pêndulo com a energía cinêtica e a energía potencial . Usando conceitos de trigonometria e geometria plana, obtemos que as coordenadas de estão dadas por: Derivando, obtemos: Logo, a velocidade está dada por: Assim, temos que e se escrevem, respectivamente, como: Obtemos o Lagrangiano : Derivando a função obtida com respeito a : Então, na forma geral da equação de Lagrange: A equação acima permite modelar um pêndulo no qual o ângulo varia com o tempo. Para determinar os alongamentos extremos e das oscilações do pêndulo devemos resolver a equação . Estes valores são necessário para calcular as imagens do pêndulo a fim de criar uma animação sincronizada com o com as oscilações reais do pêndulo. O seguinte applet está baseado no conteúdo apresentado em: https://bit.ly/PStricks_applicationsDiscussão
Para determinar a solução do problema foi considerado que. A seguir, apresenta-se um caso particular, encontrando um ângulo com tal que
.
Suponha , vamos considerar . Nesse caso, fisicamente temos que o extremo do pêndulo choca no cilindro e o movimento deveria concluir.
No entanto, utilizando métodos numéricos podemos determinar uma trajetoria do ponto e encontrar o valor de um ângiulo que seja solução da . Dessa maneira, conseguiria atingir a altura , como apresentado na seguinte animação.