Amplitud, periodo y fase de funciones sinusoidales
Amplitud, periodo y fase de funciones sinusoidales
Senoide o sinusoide es la curva que representa gráficamente las funciones seno y coseno.
En general todos los gráficos de ondas se llaman sinusoides.
La ecuación de las funciones sinusoidales se escriben como y . Los coeficientes A, B y C son números reales.
El coeficiente C corresponde a un ángulo medido en radianes. En ocasiones se escribe la ecuación dando este coeficiente en grados sexagesimales. Se recuerda que radianes = 180°.
La función se puede escribir como .
Características de las funciones sinusoidales:
Las características de las funciones sinusoidales se explican utilizando las 4 funciones que se dan a continuación y los dos applets siguientes.
Las funciones tomadas como ejemplo son:
a) f(x) = 3sen(2x + 1): A = 3 B = 2 C = 1
b) g(x) = - 2cos(- x - 3): A = - 2 B = - 1 C = - 3
c) h(x) = cos(2x - 1): A = 1 B = 2 C = - 1
d) i(x) = - 2sen(- 0.5x +2): A = -2 B = - 0.5 C = 2
Amplitud, |A|: Es la máxima distancia entre el eje X y la gráfica. Corresponde al valor absoluto del coeficiente A.
a) |A|f(x) = |3| = 3 Valor máximo = 3 Valor mínimo = - 3
b) |A|g(x) = |- 2| = 2 Valor máximo = 2 Valor mínimo = - 2
c) |A|h(x) = |1| = 1 Valor máximo = 1 Valor mínimo = - 1
d) |A|f(x) = |- 2| = 2 Valor máximo = 2 Valor mínimo = - 2
Periodo, T: Es el menor intervalo de x que corresponde a un ciclo completo de valores de la función.
El periodo se puede calcular utilizando la fórmula .
Se recuerda que es el periodo de las funciones sen(x) y cos(x).
a) La gráfica de f(x) se repite cada radianes. En hay 2 ciclos.
b) La gráfica de g(x) se repite cada radianes. En hay 1 ciclo.
c) La gráfica de h(x) se repite cada radianes. En hay 2 ciclos.
d) La gráfica de i(x) se repite cada radianes. En hay 0.5 ciclos.
La cantidad de veces que se repite un ciclo en radianes se llama frecuencia y está determinada por coeficiente B.
Fase: Es el ángulo que se desplaza la gráfica en sentido horizontal. Se denota por F y la fórmula para hallarla es .
Dado que los coeficientes C y B son números reales, se tienen tres posibilidades:
1. F > 0: La gráfica se desplaza hacia la izquierda. Se presenta cuando los signos de B y C son iguales como sucede en las funciones f(x) y g(x).
2. F = 0: La gráfica no se desplaza. Se presenta cuando C = 0.
3. F < 0: La gráfica se desplaza hacia la derecha. Se presenta cuando los signos de B y C son contrarios como sucede en las funciones h(x) e i(x).
Nótese que cuando B = 1, la fase corresponde al coeficiente C.
Se presentan dos applets. El primero para analizar la función seno y el segundo para analizar la función coseno.
1. La función original es f(x): f(x) = sen(x) o f(x) = cos(x).
2. La función general es f1(x): f1(x) = A*sen(Bx + C) o f1(x) = A*cos(Bx + C)
3. Los coeficientes A, B y C se dan con los 3 deslizadores.
4. La casilla de verificación Tabla de valores muestra los valores de f(x) y f1(x) para un ángulo x dado por el deslizador.