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bicircular quartics

Autor:Walter Füchte

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books conics bicircular-quartics Darboux-cyclides (März 2021)

Eine bizirkulare Quartik in der GAUSSschen Zahlenebene ist eine implizit gegebene Kurve mit der Gleichung
  • mit reellen Koeffizienten .
Zu diesen Kurven gehören viele berühmte spezielle ebene Kurven: die Cassini-Kurven, die spirischen Linien des Perseus, die kartesischen Ovale, die Strophoiden, aber auch die Kegelschnitte. Die Klasse der bizirkularen Quartiken ist invariant unter Möbiustransformationen. Eine bizirkulare Quartik besitzt 4 Brennpunkte f1,f2, f3, f4. Jede bizirkulare Quartik ist Kurve einer Schar von konfokalen bizirkularen Quartiken, welche Lösungskurven einer elliptischen Differentialgleichung mit geeignetem sind. Der Typ einer bizirkularen Quartik wird durch die Lage der Brennpunkte bestimmt:
  • Die Brennpunkte sind verschieden und konzyklisch. Die Kurve ist 2-teilig und symmetrisch zu 4 paarweise orthogonalen Kreisen, einer davon ist imaginär. Die Quartik ist Hüllkurve von 4 verschiedenen Scharen doppelt-berührender Kreise.
  • Die 4 verschiedenen Brennpunkte liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen. Die Quartik ist 1-teilig und symmetrisch zu diesen Kreisen. Die Quartik ist Hüllkurve von 2 Scharen doppelt-berührender Kreise.
  • 2 der 4 Brennpunkte fallen zusammen. Wählt man diesen doppelt-zählenden Brennpunkt als , so ist die Quartik ein Kegelschnitt der Schar konfokaler Ellipsen/Hyperbeln. Die Quadrik ist symmetrisch zu 2 orthogonalen Achsen. Sie ist Hüllkurve von 3 Scharen doppelt-berührender Kreise, wobei die Tangenten als eine dieser Scharen gerechnet sind.
  • 3 der 4 Brennpunkte fallen zusammen. Wählt man diesen als , so ist die Quartik eine Parabel einer Schar konfokaler Parabeln mit einer Symmetrie-Achse. Die Parabel ist Hüllkurve der doppelt-berührenden Tangenten und einer weiteren Schar doppelt-berührender Kreise.
  • 2 doppelt-zählende Brennpunkte oder ein 4-fach zählender Brennpunkt: Die Quartik ist das Produkt zweier Kreisgleichungen.
Ausblick: Darboux Cycliden sind Flächen, die implizit definiert sind durch Gleichungen der Form:
  • mit , linearem und quadratischem , jeweils mit reellen Koeffizienten.
Zu diesem Flächentyp gehören die Dupinschen Cycliden, die Tori und auch die Quadriken. Diese Flächen sind die räumlichen Fortsetzungen der bizirkularen Quartiken. Schnitte mit Kugeln und Ebenen sind bizirkulare Quartiken. Die einzelnen Flächen sind ebenfalls stets Teil einer konfokalen Schar von Darboux Cycliden. Doppelt-berührende Kugeln berühren in einem Kreis oder schneiden in 2 Kreisen. Für Symmetriekugeln oder Symmetrie-Ebenen können die doppelt-berührenden Kreise der Schnitt-Quartiken zu doppelt-berührenden Kugeln der Cycliden fortgesetzt werden: auf diese Weise erhält man die Kreise auf diesen Flächen. Bizirkulare Quartiken und Darboux Cycliden lassen sich auf vielfältige Weisen als die Überlagerung von Kreis- bzw. Kugel-Wellen deuten.

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