Elipse
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia.
Comando GeoGebra asociado: Elipse
Seguramente la elipse ("circunferencia imperfecta") es la curva plana que mejor ilustra la esencia de un cambio de sistema de referencia {O, a, b}.
Todas las elipses son afínmente equivalentes, y tienen por curva canónica la circunferencia unidad:
x2 + y2 - 1 = 0
Es sencillo entender por qué. Basta escalar y girar los radios i y j de la circunferencia unidad para obtener a y b, los semiejes de la elipse. Solo queda una traslación del (0, 0) hasta O para completar el cambio de sistema de referencia. De hecho, dado el sistema de referencia {O, a, b}, si no nos interesa la ecuación algebraica, una manera muy rápida y sencilla de construir la elipse de centro O y semiejes a y b es editar su ecuación vectorial con el comando Curva:Curva(O + a cos(t) + b sen(t), t, 0, 2π)
Nota: En la construcción, observa que el vector b viene determinado por la posición del punto B. Esto es debido a que queremos forzar a que el vector b sea uno de los semiejes de la elipse y, por lo tanto, ortogonal al vector a. Para ello, hemos definido el punto B como un punto arbitrario de la recta perpendicular al vector a por O. De la construcción se deduce inmediatamente el área de la elipse: como hemos escalado los vectores canónicos i y j por el módulo de a y b, respectivamente, el área del círculo unidad quedará multiplicada por esos valores:área = |a| |b|
Nota: Gracias a los comandos específicos para cónicas de GeoGebra, resulta sencillo invertir el proceso, es decir, dada la ecuación general de la elipse ec', averiguar el cambio de sistema de referencia con respecto al círculo unidad:- O = Centro(ec')
- a = LongitudSemiejeMayor(ec') Dirección(EjeMayor(ec'))
- b = LongitudSemiejeMenor(ec') Dirección(EjeMenor(ec'))
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.