Equação algébrica
Esta atividade pertence ao livro de GeoGebra GeoGebra Principia.
Anteriormente, definimos diretamente a distância de um ponto X(x,y) à circunferência c como:
Xc(x,y):= Distância(X, c)
Com isso, a equação para os pontos equidistantes de um ponto e uma circunferência se reduz a:
XA – Xc = 0
Se a circunferência tem centro O e raio s, podemos redefinir a equação anterior como:
|XO – s| = XA
Essa redefinição nos permitirá visualizar as duas ramificações da hipérbole. Para isso, basta transformar a equação irracional anterior em uma equação algébrica, elevando ao quadrado para eliminar as raízes (atingir a expressão a seguir é fácil, pois não requer processos de agrupamento, simplificação ou cancelamento, mas também não há problema em ajudar estudantes com poucos recursos em álgebra a resolver este pequeno exercício, o resultado vale a pena):
(XA² – XO² – s²)² = 4s² XO²
As equações algébricas também têm a vantagem de permitir representar as respectivas inequaçãos sem recorrer ao offset. Para isso, basta definir:
XA2(x,y) := Simplificar(XA^2)
XO2(x,y) := Simplificar(XO^2)
Dessa forma, podemos introduzir as inequaçãos:
(XA2 – XO2 – s²)² < 4s² XO2
(XA2 – XO2 – s²)² > 4s² XO2
Autor da atividade e construção GeoGebra: Rafael Losada.