Círculos de Ford y sucesión de Farey
La sucesión de Farey para un número m se construye con todas las fracciones irreducibles entre 0 y 1 cuyos denominadores van de 1 hasta m (en el applet m es el deslizador “Mayor denominador” y puede llegar hasta 25. Se inicia con m=5.
En la ventana inferior tienes las sucesiones de Farey para m=5. Observa que las fracciones de cada nuevo denominador se van colocando en orden ascendente y las puedes leer de izquierda desde 0/1, a derecha hasta 1/1=1. En la fila superior aparece 1/2, en la siguiente 1/3 y 2/3, en la siguiente 1/4 y 3/4 (2/4 no aparece porque es reducible) y así sucesivamente.
El círculo de Ford asociado a la fracción p/q es un círculo tangente al eje X en el punto (p/q,0) que tiene por radio 1/2q2. En la ventana superior se han colocado los círculos de Ford asociados a las fracciones de la sucesión de Farey para los sucesivos valores de n. Observa que los nuevos círculos que aparecen al aumentar el denominador en las sucesiones de Farey siguen resultando tangentes a los círculos anteriores.
Investiga sucesiones de Farey y círculos de Ford para distintos valores del Mayor denominador
Si pulsas el botón Zoom de la ventana superior aparece un deslizador con un valor entre 0 y 1. Al pulsar sobre Zoom Acerca la pantalla superior se reorganiza para mostrar la zona alrededor del eje X entre el valor indicado (0.1 a la izquierda y a la derecha de ese valor). Pulsa sobre Zoom inicial para volver a la pantalla entre 0 y 1.
En la ventana inferior puedes mostrar u ocultar los números que indican las Fracciones junto a cada uno de los puntos. Si quieres estudiar regularidades en las posiciones de la sucesión de Farey, puede que te interese ocultarlas.
Hay un botón con título Funciones, cuando lo activas se muestra la representación de las funciones y=n/x e y=n/(1-x) y podemos observar que las curvas pasan por ciertos puntos de la sucesión de Farey.