El conjunto de Mandelbrot

Tema(s):Números complejos, Construcciones, Geometría fractal, Sucesiones y series

Esta actividad pertenece a los libros de GeoGebra Julia y Mandelbrot, Color dinámico y Variable compleja. La definición del conjunto de Mandelbrot es "algo compleja" (típico chiste tonto entre matemáticos) pero la idea general no es difícil de entender, a partir de la anterior actividad, como vamos a ver. Efectivamente, hemos visto que si elegimos un valor entre -2 y 0.25, lo elevamos al cuadrado y sumamos al resultado el valor elegido, repitiendo este proceso indefinidamente, obtenemos una sucesión acotada. En el caso de que el valor de partida se encuentre fuera de ese intervalo, la sucesión resultante será no acotada. También hemos visto que:

A veces, para distinguir una sucesión acotada de una que no lo sea, hacen falta muchas iteraciones.
Dos valores de partida infinitamente próximos pueden causar sucesiones en las que una sea acotada y la otra no.
Algunos valores de partida provocan sucesiones caóticas.

Pues bien, el conjunto de Mandelbrot está formado por todos los valores de partida que generan sucesiones acotadas, da igual si son convergentes o caóticas. Pero en vez de limitarse a valores reales (puntos en el eje X) el conjunto de Mandelbrot considera los valores complejos (puntos en el plano XY), pues estos "números complejos" también se pueden sumar y multiplicar. Por ejemplo, el número complejo i ocupa la posición (0, 1) en el plano complejo. Al elevarlo al cuadrado y sumarle i, obtenemos i - 1, que ocupa la posición (-1, 1). Al volver a elevarlo al cuadrado y sumarle i, obtenemos -i, que ocupa la posición (0, -1). Ahora bien, en la siguiente iteración, volvemos a obtener i - 1, con lo que entramos en el bucle infinito {i - 1, -i}. Por tanto, el número i está en el conjunto de Mandelbrot, pues esta sucesión es acotada. (Puedes comprobar esta sucesión o cualquier otra en la próxima actividad.) La gracia de los fractales reside en que, al igual que pasa con el 0.25 y valores muy próximos a él, la frontera del conjunto de Mandelbrot está formada por puntos infinitamente próximos, en los que unos sí pertenecen al conjunto pero sus vecinos no. ¡Así de fina y retorcida es la frontera del conjunto de Mandelbrot y de cualquier otro fractal! En esta actividad puedes visualizar cómo se desarrolla cada sucesión dependiendo del punto de partida elegido (en la próxima actividad podrás profundizar en la exploración del conjunto de Mandelbrot). Observa que si eliges un punto dentro del conjunto de Mandelbrot (zona blanca), la sucesión de puntos no se aleja demasiado en ningún paso (es decir, está acotada), mientras que si eliges un punto de partida fuera del conjunto de Mandelbrot, la sucesión de puntos "se abre", más tarde o más temprano, alejándose hacia el infinito (es decir, no está acotada). Prueba a mover el punto azul (o rojo, en el caso de que no pertenezca al conjunto de Mandelbrot). Para un ajuste fino, usa las teclas flecha en vez del ratón.

Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

El conjunto de Mandelbrot

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