3. Rechnen mit Vektoren
Rechnen mit Vektoren
Im Kapitel "der Irrgarten" konnte in der zweiten Geogebra-App ein Roboter durch ein Labyrint geführt werden. Eine mögliche Lösung für den Weg durchs Labyrint ist hier:
ab_irrgarten_Lsg
Die Summe aller Vektoren
Als Summe aller Vektoren ergab sich der Vektor: Was hat dieser Vektor zu bedeuten?
Addition von Vektoren
Grafisch bedeutet die Addition von Vektoren das Bilden einer Vektorkette. Das heißt man fügt die Vektoren so zusammen, dass der Anfangspunkt eines Folgevektors mit dem Endpunkt des vorangehenden Vektors verbunden wird.
Mathematisch bedeutet Addition von Vektoren einfach, dass alle -Koordinaten zu einer neuen -Koordinate addiert werden, -Koordinaten zu einer neuen -Koordinate addiert werden und alle -Koordinaten zu einer neuen -Koordinate addiert werden.
In der folgenden App kann mit so einer Vektorkette ein wenig "herumgespielt" werden.
Beispiel in zwei Dimensionen
Subtrahieren von Vektoren
Grafisch bedeutet das Subtrahieren eines Vektors von einem Vektor einfach die Addition mit dem Gegenvektor.
Mathematisch bedeutet Subtrahieren einfach, das die Koordinaten des zu subtrahierenden Vektors von denen des Ausgangsvektors abgezogen werden:
Auch dies kann in der unten stehenden App ausprobiert werden.
S-Multiplikation oder Skalar-Multiplikation
Hier zuerst eine Warnung: Verwechseln Sie diese Multiplikation nicht mit dem Skalarprodukt, das in späteren Kapiteln behandelt wird.
Mathematisch ist die S-Multiplikation einfach die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl. Dabei wird, wie bei der S-Multiplikation einer Matrix, jede Koordinate mit dieser Zahl multipliziert:
Grafisch bedeutet die S-Multiplikation, dass ein Vektor, der mit einer Zahl multipliziert wird, um das -fache verlängert oder verkürzt wird. Seine Richtung behält er aber bei. Dabei kann man sich für das Produkt folgendes überlegen:
- Ist größer als , dann wird der Vektor verlängert.
- Ist größer als und kleiner als dann wird der Vektor verkürzt.
- Ist die Zahl negativ, dann zeigt der Ergebnisvektor in die entgegengesetzte Richtung. Der Gegenvektor zu ist der Vektor .
Ein Vektor zwischen zwei Punkten
Sehr oft braucht man einen Vektor, der einen Punkt mit einem anderen verbindet, in diesem Beispiel ein Vektor von Punkt zu . Diesen Vektor lässt sich mit Hilfe der Ortsvektoren dieser beiden Punkte berechnen:
Im nächsten Applet kann man das in zwei Dimensionen beobachten und ausprobieren, indem man die Punkte A und B verschiebt: