カルダノからオイラーへ
１．カルダノ・タルタ―リャの公式
このワークシートはMath by Codeの一部です。
３次方程式の公式と言えば、
カルダノの公式（手順）が有名ですね。
（※符号や記号の工夫は様々あるので、設定によって公式の記述は変わります。）
１．変数変換X=x+a/3でXの簡約型にする。
３次方程式
は、
より、
（簡約型）
２．２次方程式（補助方程式）に還元する。
（簡約型）からまたは、 を作る。
（z式の理由）
X=の代入をして
とおくと になる。とすると、。
解と係数の関係から、
αとβは２次方程式 の解となる。
（t式の理由）
X=の代入をして
とおくと になる。とすると、。
解と係数の関係から、
αとβは２次方程式 の解となる。
３．補助方程式の解の３乗根の組み合わせで、３次方程式の解が求められる。
（z式の場合）
補助方程式の判別式は で、解はα、βとする。
u,vはα、βの３乗根の３分の１。 簡約解はX= 。
変換をもどすとx=X-a/3= これは、最終式が形式的にきれいになる。
（t式の場合）
M=p/3, N=q/2とおくと、
補助方程式の判別式は
sq=√M3+N2とすると、
解はα、β=
と２次方程式が実用的にきれいに解ける。
u,vはα、βの３乗根。簡約解は X= 。変換をもどすとx=X-a/3=
２．カルダノ公式をためしてみる
（例）簡約３次方程式 X3-6X-9=0
（例）簡約３次方程式 X3-6X-4=0
だから、
（例）簡約３次方程式 x3-3x-2=0
だから、
質問：上の３つの例ではｄが正、負、０の３種類で公式で答えを出せました。
カルダノ公式のメリットと課題は何だと思いますか。
メリットは、一般の３次方程式を解くことを、
３乗根を求める問題と２次方程式の計算に分解できたことだね。
課題はいくつかある。
・X=y+zという置き換えが、どこからふってわいたのかがよくわからない。
・ｄが負のときは解が実数になるのに、途中で虚数計算が入ってしまう。
だから、虚数が必要悪のように感じられる。
・３次方程式の解がいつも１つしか出ない。（まだ、図形・グラフが先という幾何学王道主義の時代では、
複素平面もまだなく、複素数解も求めるという動機もないので仕方ないが。。。
１の３乗根をからませると３つ求められる。）
・３乗根を開くのが大変かもしれない。
（カルダノ自身も３乗根の見つけ方までは説明していないらしい。
そのプロセスまで明確にしたのはボンペリ。
ボンペリは複素数の場合も含めて３乗根の正当性を「代数学」という教科書で解説している。）
３．オイラーの改良
上記の課題の２番目は、かなり重大だ。
当時の数学界の大御所デカルトだけでなく、ライプニッツでさえ、
２乗して−１になる数√(-1)は想像上の数、ただの便宜上の存在とみなしていたらしい。
そこに、数式のつながりを自由に行き来する天才数学者オイラーが登場した。
オイラーは√(-1)=iとおき、１の平方根は±１で、１の立方根は1, ω,ω^2で、１の４乗根は±1,±i ,....
こうして、1のｎ乗根はｎ個あることをしめした。
さらに、ド・モアブルの定理を導き、それを利用した。（cosθ± i sinθ)3=cos(3θ)± i sin(3θ)から、
複素数ｚ＝a+b i（c=|z|で、-π/4<θ<π/4 、(cosθ,sinθ)=(a/c, b/c) ）の３乗根は、
で求められるとした。
d=M3+N2が負になるときの複素数ｔ＝ーN±sqの３乗根を３つ求められる。
t=-N+sq=a+biの３乗根を とすると、
t=-N -sq=a-biの３乗根は
虚部の符号だけ反対なので、偏角の符号を反対にすればよいね。
すると、X=
=
= と３実数になる。
オイラーは、「複素数は必要悪とか、想像上のもの」ではなく、
「実数が特殊で複素数が一般」という格上げし、複素数の下剋上時代を切り開いたと言えるでしょう。
質問：オイラーの方法でカルダノ公式の改良をgeogebraでやるにはどうしたらよいですか。
簡約３次方程式x3+px+q=0のカルダノ公式は
M=p/3, N=q/2とすると、
d=M3+N2 sq=√dが計算できて、t=-N±sqの3乗根の和が解Xになる。
ということだった。
カルダノ公式で、d=M3+N2の正負で場合わけしましょう。
・d＞=０のときは、カルダノ公式を使えます。ｘ軸との交点をAとします。
・d＜０のときは、a=-N, b=sqrt(-d)にして、c=√(a^2+b^2)を求めます。
e=c^1/3が複素数の大きさです。
arcsin(b/c)と入力すると、sin-1(b/c)と表示されるので、これをthとします。（θ）
３つの複素数の偏角として、th/3, (th+2π)/3, (th+4π)/3のリストを作りthsとします。
zipを使って。2e cos(p)の pにthsを順に入れたものがkaiです。ｘ軸との交点はC={(p,0) | p∈kai}です。
・表示は、d>=0ならAが、それ以外ならCが表示されるようにifコマンドを利用すればいいね。
・さらに、p,qをグラフ上から変更したければ、ツールで
を押して、p,qがリンクするように
設定すればよいでしょう。
を押して、p,qがリンクするように
設定すればよいでしょう。オイラーの救済
４．あわせ技（因数分解も使う）
３次方程式 の解を３つ求めたい。
・カルダノはt=-N±sqの3乗根の和が解になるとした。
・オイラーはtが複素数になる場合、tの３乗根を円分複素数にして解決した。
３次方程式を因数分解すると、「X=u+vとおく」謎が解ける。
数の範囲をはじめから複素数に広げておくと、３次方程式は必ず３つの解を持てる。
必ず因数分解できるように、１の３乗根を1,ω,ω2としよう。
として、次数をそろえることで、因数分解できる。
=
=
だから、解は の３つになる。
uとvさえ求められれば、３つの解が計算できるね。
因数分解する前の式で係数比較すると、b=-3uv, c = u3+v3
あれ？
これはどこかで見たことありませんか？
そうです。カルダノの方法と同じになりました。
だから、途中が全く同じになるので省略します。
１つの解X＝u+v。あとはu,vとω,ω2との積和を求めると、残りの２解が出ますね。
この方法とオイラーの公式、因数定理などの合わせ技でほとんどの課題が解決します。
・まず、X=u+vと置くことの不自然さがなくなる。
・複素数の存在を前提にしているので、いつも解を３つ出せる。
・２次方程式の解α、βの３乗根u,vから１つの実数解X=u+vが求められる。
残りの解はu,vとω,ω2との積和でも、因数定理利用でも出せる。 （３乗根の計算の手間は減らない。）
＜あわせ技で３次方程式を解いてみよう＞
（例）簡易３次方程式 X³＋6Xー20＝０
M=6/3=2, N=-20/2=-10, d=M3+N2=8+100=108（正）
sq = 6√3、t=-N±sp= 10＋6√3, 10ー6√3=α, β。
t³＝（a+b√3)³=10+6√3となる整数はa=b=1となる。
よって、１つの解は。
残りの２解は、(1 0 6 -20)÷(1 -2) = (1 2 10) から、X²＋2X+10=0を解き、X=-1＋√3i ,-1ー√3i。
（例）簡易３次方程式 X³ー15Xー4＝０
M=-15/3=-5, N=-4/2=-2, d=M3+N2=-125+4=-121（負）
sp=11 i、t=-N±sp＝2＋11i, 2ー11i=α, β。次に、αの３乗根を求める。
α³＝(a+bi)³=2+11iとなる整数はa=2,b=1となる。
よって、１つの解は。
残りの２解は、(1 0 -15 -4)÷(1 -4)=1 4 1 から、X²＋4X+1=0を解き、X=-2ー√3, -2＋√3。
（例）簡易３次方程式 X³ー3X＋2＝０
M=-3/3=-1, N=+2/2=1, d =M3+N2=-1+1=0（ゼロ）
sp= 0、t=-N±sp＝- 1±0=-1=α, β（重複解）
よって、。
残りの解は、(1 0 -3 2)÷(1 2)=1 -2 1 から、X²-2X+1=0を解いて、X=1,1（重複）。