A construção dos números naturais é dada pelos axiomas de Peano. Mas o que é um axioma? Lembre-se dos conceitos ditos primitivos, citado anteriormente, esses são os axiomas, podemos pensar como verdades observáveis, ou mesmo aceitas para dar sustentação à demonstrações, assim, estes não precisam ser demonstrados, e podem ser usados para provar algo a partir de tais verdades, como ocorre com os números naturais.
Os axiomas mencionados são:
Todo número natural tem um único sucessor, logo, números diferentes tem sucessores diferentes;
Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro, chamado um, representado pelo símbolo 1, logo, esse é o menor número natural;
Se é um subconjunto dos números naturais, onde e para todo , temos que , então, .
Observação: os axiomas de Peano podem ser encontrados de maneiras distintas em materiais distintos, mas lembramos que o ponto principal é entender a ideia por trás dos axiomas, em alguns inclusive, será encontrado o zero como menor elemento do conjunto dos naturais.
Note que a partir dos axiomas acima, se , temos o conjunto dos naturais como:
Um outro fator importante é que novamente chamamos atenção para as demonstrações matemáticas, já que os axiomas de Peano nos fornecem a ideia para demonstrações por Indução Matemática através do último axioma, ao mostrar que se determinada propriedade é satisfeita para um determinado elemento e se a verdade de implica a verdade de , então, esta será verdadeira para todo do conjunto em questão. Os números naturais são fechados para adição e multiplicação, ou seja, tais operações entre números resultará em um número natural.