Strophoiden sind auch nur . . . Kegelschnitte
(08.02.2019) Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge
Der Titel dieser Aktivität ist eher ein Joke als mathematisch korrekt: Verwendet man den Begriff "Strophoide" allgemein für sich "wendende" Kurven oder für "Schleifenkurven", so ist die Aussage so allgemein formuliert falsch.
Für die "gerade Strophoide" im engeren Sinne trifft sie jedoch zu: diese Kurve entsteht durch Inversion an einem geeigneten Kreis aus einer gleichseitigen Hyperbel, also einer Hyperbel mit orthogonalen Asymptoten.
Wir wollen mit dieser und der nachfolgenden Aktivität andeuten, dass manche der bekannten speziellen Kurven möbiusgeometrisch tatsächlich " ... auch nur Kegelschnitte sind". Die gleichsinnigen Möbiustransformationen der GAUSSschen Zahlenebene mit , zusammen mit den Inversionen am Kreis sind kreis- und winkeltreu.
Die nächst-höhere Klasse von Kurven, die unter Möbiustransformationen invariant ist, besteht aus den bizirkularen Quartiken, das sind algebraische Kurven des Typs:
Die Kegelschnitte gehören also erkennbar zu dieser Kurvenklasse, tatsächlich entstehen aus Kegelschnitten unter Kreisinversionen solche Quartiken 4. Ordnung.
Das Applet oben ist vielleicht etwas überfrachtet: wir wollen die möbius-geometrisch gemeinsamen Eigenschaften von Kegelschnitten, ihren Bildern unter Möbiustransformationen und anderen bizirkularen Quartiken hervorheben.
Möbiusgeometrisch besitzen die Kegelschnitte neben dem Brennpunkt (Parabel), bzw. den Brennpunkten (Ellipse/Hyperbel)
den Punkt als 3-fach, bzw. 2-fach zählenden Brennpunkt.
Die Kreise oder Geraden durch je zwei Brennpunkte nennen wir "Brennlinien". Für Ellipsen/Hyerbeln sind das z.B. die Geraden durch F1 und die durch F2. Durch fast jeden Punkt der Ebene geht je eine dieser Brennlinien. Die konfokalen Kegelschnitte sind Winkelhalbierende dieser Brennlinien!
Dasselbe stellt man fest, wenn man die Kreise durch F1 und F2 einerseits und die Parallelen zur Hauptachse andererseits als Brennlinien betrachtet.
"Konstruieren" kann man die Kurven mit Hilfe der Leitkreise oder Leitgeraden, den Brennlinien und den doppelt-berührenden Kreisen. Bei den Kegelschnitten sind das die Tangenten (2. Berührpunkt ist ) oder die zur Nebenachse symmetrischen, den Kegelschnitt berührenden Kreise. Spiegelt man einen ausgewählten Brennpunkt an den doppelt-berührenden Kreisen, so liegen die Spiegelpunkte jeweils auf einem Kreis oder einer Geraden: das sind die Leitkreise!
Dieser Zusammenhang gilt möbiusgeometrisch für alle bizirkulare Quartiken.
- Im Applet oben kann man diese Zusammenhänge für Kegelschnitte und deren Bilder unter Inversion am angezeigten Kreis erkunden.
- Das Applet unten zeigt das Bild einer Hyperbel unter der Inversion an einem beweglichen Kreis und die Wirkung auf Leitkreis und Leitgerade.