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Vom Winkelmaß zum Bogenmaß mit Sinus und Kosinus

Autor:Torsten Budumlu, Andreas Brinken

Verschiebe das braune Kreuz auf der x-Achse mit der Maus.

Grundwissen 1: Umrechnung Bogenmaß-Winkelmaß Starte mit der folgenden Verhältnisgleichung - sie beschreibt die Gleichheit der Winkelanteile am Vollkreis: . Diese Gleichung kannst du leicht nach auflösen: . Mit dieser Formel kannst du einen Winkel vom Bogenmaß schnell in das Gradmaß umrechnen. Ist der Winkel nur im Gradmaß bekannt, folgt für den Winkel im Bogenmaß: . Tipp: In vielen Fällen erledigst du die Umrechnung elegant und ganz ohne Formel mithilfe von Anteilen am Vollkreis oder Anteilen am Halbkreis. So ist zum Beispiel ein 45°-Winkel genau ein Viertel vom Halbkreis. Damit entspricht dem Winkel der Bogenmaß-Winkel (im Bogenmaß besitzt ein Halbkreis exakt den Wert ). Grundwissen 2: Was haben Sinus und Cosinus mit dem oben dargestellten Einheitskreis zu tun? Um das zu verstehen, benötigt man 4 Dinge:
  1. Ein Achsenkreuz (mit x- und y-Achse).
  2. Einen Einheitskreis (mit Radius 1), dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt.
  3. Einen Punkt auf dem Einheitskreis.
  4. Den Satz des Pythagoras.
1. Grundidee eines Kreises: Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die den gleichen Abstand (Radius) zu einem festen Punkt, dem Mittelpunkt, haben. Für einen Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und einem Radius von  (daher „Einheitskreis“), beträgt der Abstand jedes Punktes auf dem Kreis genau 1. 2. Der Satz des Pythagoras: Wenn wir einen beliebigen Punkt auf dem Einheitskreis betrachten, nennen wir ihn P(x;y)]. Dieser Punkt hat einen Abstand von 1 zum Ursprung O(0;0). Dieser Abstand kann durch den Satz des Pythagoras beschrieben werden.
  • Der Abstand zwischen zwei Punkten  und  im Koordinatensystem wird durch die Formel:​gegeben.
  • Für den Einheitskreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung O(0,0) und einem Punkt P(x,y) auf dem Kreis beträgt der Abstand:​
  • Da der Radius des Einheitskreises 1 ist, gilt:
3. Die Kreisgleichung: Wenn wir beide Seiten quadrieren, um die Wurzel zu eliminieren, erhalten wir: Dies ist die Formel des Einheitskreises. 4. Allgemeiner Kreis: Die allgemeine Gleichung eines Kreises lautet: Hierbei:
  •  sind die Koordinaten des Mittelpunkts des Kreises,
  • r ist der Radius des Kreises.
Für den Einheitskreis ist der Mittelpunkt im Ursprung, also  und , und der Radius ist , sodass sich die Formel zu: vereinfacht. 5. Verbindung zur Trigonometrie:Der Einheitskreis spielt eine zentrale Rolle in der Trigonometrie. Für einen Winkel θ, gemessen von der positiven x-Achse, können die Koordinaten eines Punktes  auf dem Einheitskreis durch die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus beschrieben werden: und Das bedeutet, dass jeder Punkt auf dem Einheitskreis durch: beschrieben werden kann, wobei der Radius 1 bleibt. Das erklärt auch, warum die Identität  gilt: Diese Identität ist einfach die Einheitskreisgleichung in trigonometrischen Termen. Damit können wir den Sinus und den Kosinus für beliebige Winkel im Winkelmaß und für beliebige Zahlen im Bogenmaß neu definieren:

x-Wert von P y-Wert von P

Für Winkel zwischen 0° und 90° (bzw. zwischen 0 und ) findest du zu jedem Winkel ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge 1, sodass die alten Definitionen am Dreieck mit in die neue Definition eingebettet sind. Eine Herausforderung für Mathe-Cracks: Was passiert mit dem Schaubild der auf die obige Weise definierten Sinusfunktion, wenn man den Einheitskreis
  1. aus dem Ursprung zu einem neuen Mittelpunkt M(a,b) verschiebt(?)
  2. und zusätzlich seinen Radius von 1 auf einen anderen positiven Wert verändert?
  3. Wie müsste man eine Streckung des Schaubildes der Sinusfunktion mithilfe der y-Koordinate eines Kreispunktes im Koordinatensystem beschreiben?

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