Bedingungen aus der Wirtschaft
Im letzten Kapitel wurden die Bedingungen rein mathematisch formuliert. Hier werden Beispiele aufgeführt, wie so eine Bedingung in einer Aufgabe mit Bezug auf Wirtschaftsthemen klingen könnte.
1. Schneiden eines Punktes
Diese Bedingungen werden auch dann verwendet, wenn Nullstellen gegeben sind. Dann ist die y-Koordinate gleich Null.
Gesucht ist eine Kostenfunktion:
- Die Kosten bei einer Ausbringungsmenge von (ME = Mengeneinheiten) betragen (GE = Geldenheiten). Hier ist der Punkt , also
- Die Stückkosten bei einer Ausbringungsmenge von betragen . Aus den Stückkosten kann man mit leicht wieder die Kosten berechnen: Also lautet die Bedingung hier auch:
- Bei einer Erlösfunktion ist immer automatisch der Punkt enthalten, da man genau keinen Erlös hat, wenn man nichts verkauft, also .
- Bei einer Menge von macht das Unternehmen einen Gewinn von . Dann ist die Bedingung:
- Der break-even-point liegt bei . Hier ist eine Nullstelle gegeben, bzw. der Punkt . Die Bedingung ist:
- Die Fixkosten sind . Hier ist die Bedingung
- Das Unternehmen macht bei seiner Kapazitätsgrenze von einen Verlust von . Dann lautet die Bedingung:
- Das Produkt kommt Ende September () auf den Markt. Also .
- oder: Das Produkt wird Ende März () vom Markt genommen.
- oder: Der Umsatz beträgt Ende Mai () genau . Also
2. Steigung an einer Stelle
Gesucht ist eine Kostenfunktion:
- Die Grenzkosten betragen bei einer Ausbringungsmenge von 7,34 ME genau 5,5 GE/ME. Dann lautet die Bedingung:
- oder: Die Kosten ändern sich bei einer Ausbringungsmenge von 7,34 ME um 5,5 GE/ME. Dann lautet die Bedingung wie oben:
- oder: Die Langfristige Preisuntergrenze im Betriebsoptimum von ist bei . Weil es gilt: , ist hier auch die Bedingung
- oder: Die Kurzfristige Preisuntergrenze im Betriebsminimum liegt bei 5,5 GE/ME. Da , gilt
- Bei einer Ausbringungsmenge von 8,2ME ändert sich der Erlös um -2 GE/ME. Dann lautet die Bedingung:
- Der Grenzgewinn bei einer Ausbringungsmenge von x=7 ME beträgt 6GE/ME. Dann lautet die Bedingung:
- Bei einer Menge von nimmt der Gewinn um ab. Also: .
3. Extremum an einer Stelle
Gesucht ist eine Erlösfunktion:
- Der maximale Erlös wird bei x = 6,4 ME erzielt. Dann lautet die Bedingung:
- Bei einer Ausbringungsmenge von x = 7 ME ist der Grenzerlös gleich Null. Dann lautet die Bedingung:
- Die gewinnmaximale Ausbringungsmenge ist x = 10,5 ME. Dann lautet die Bedingung:
- der Cournot'sche Punkt ist . Dann lauten die Bedingungen: und
- Das Unternehmen erzielt den größten Gewinn bei x = 20 ME. Dann lautet die Bedingung:
- Das Betriebsminimum ist bei . Dann lautet die Bedingung:
- Die variablen Stückkosten sind bei x= 21ME am geringsten. Dann lautet die Bedingung:
4. Wendestelle an einer Stelle x
Hier geht es in der Regel um extreme Änderungen:
Gesucht ist eine Gewinnfunktion:
- Der Gewinn wächst bei einer Ausbringungsmenge von x = 15 ME am schnellsten. Dann lautet die Bedingung:
- Bei x=41 ME nimmt der Gewinn am schnellsten ab. Dann lautet die Bedingung:
- Der Kostenzuwachs ist bei x = 5 ME am geringsten. Dann lautet die Bedingung:
- Der Umsatz wuchs nach 2,5 Monaten am schnellsten. Also
- Nach 7 Monaten ging der Umsatz am schnellsten zurück: