Concurrencia rectas Euler para Antonio
Vamos a usar el escáner para intentar averiguar qué cuadriláteros poseen la propiedad de que concurren las cuatro rectas de Euler de los cuatro triángulos que se pueden formar con sus vértices.
Para ello, partimos de un triángulo ABC, que consideraremos fi jo, y añadimos un cuarto punto libre D. Creamos las rectas de Euler de los cuatro triángulos BCD, ACD, ABD y ABC, y calculamos las áreas de los triángulos que forman al cortarse entre ellas. Las rectas serán concurrentes cuando esas áreas sean nulas. Cada punto Bi del escáner hará las veces del cuarto vértice D del cuadrilátero ABCD.
Tras pasar el escáner, podemos comprobar que el lugar buscado pasa por los centros del triángulo X1 (Incentro), X3 (Circuncentro), X4 (Ortocentro), X13 (Punto de Fermat o 1º punto isogónico), X14 (2º punto isogónico), X15 y X16 (isogonales de X13 y X14). Además, pasa -entre otros- por los exincentros, las reflexiones de A, B y C sobre los lados opuestos, los vértices de los triángulos construidos sobre los lados...
Toda esta información señala a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y a la cúbica de Neuberg como el lugar geométrico al que debe pertenecer el cuarto vértice D para que concurran las rectas de Euler del cuadrilátero ABCD.
Podemos así concluir que, para cumplir esa condición, el cuadrilátero ABCD debe ser cíclico o bien uno de sus vértices debe pertenecer a la cúbica de Neuberg determinada por el triángulo formado por los otros tres.
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Nota: Para una mejor visualización, sin saltos, se recomienda descargar el applet.