Derivadas Parciais de funções vetoriais de várias variáveis
Definição:
Seja
Definimos a derivada parcial de com respeito a variável , no ponto denotada por , como
se este limite existe.
Observe que, como o limite de uma função vetorial, quando ele existe, é o vetor formado pelos limites de cada uma das suas funções coordenadas em suas respectivas posições, ou seja, ele é calculado tomando-se os limites de cada uma das suas funções coordenadas, temos que:
Em particular, se , o vetor é tangente à curva, no ponto . Analogamente, é um vetor tangente à curva no ponto . Se a função for diferenciável, estes dois vetores serão linearmente independentes e definirão o plano tangente à superfície imagem de F no ponto . Isto é, a equação paramétrica do plano tangente à superficie parametrizada pela função no ponto é:
No applet abaixo é possível observar a esquerda a derivada parcial de uma superfície parametrizada (toro), enquanto na direita é possível observar o domínio, a imagem e o plano tangente! Sinta-se livre para manipular o ponto A e observar como a derivada parcial se comporta.
Obs: Ao clicar nas caixas da derivada parcial irão aparecer uma curva verde nas outras abas. A aba central representa o domínio, nessa aba a curva verde representa a direção na que se calcula a derivada parcial, respeito de s ou de t. Na aba direita apresentamos outra curva verde que representa o traço da curva anterior, dado pela parametrização, na superfície. Os vetores apresentados nessa aba representam as derivadas parciais, respeito de s ou t, no ponto A, observe que são vetores tangentes à superfície e a cada curva apresentada (respetivamente) no ponto A, esses dois vetores geram o plano tangente que pode ser visualizado ao clicar na terceira caixa.
No applet abaixo é possível observar com mais profundidade a relação entre as derivadas parciais de primeira ordem e o plano tangente a superfície. Sinta-se livre para inserir novas funções vetoriais de várias variáveis e observar as distintas imagens e planos tangentes!