M1 AB II.3 Wiederholung: Steigung einer linearen Funktion
Wie bestimmt man die Steigung des Funktionsgraphen einer linearen Funktion?
Um die Frage zu klären, wie man die Steigung des Graphen einer beliebigen Funktion an einer interessierenden Stelle x0 bestimmt, ist es hilfreich, sich noch einmal bewusst zu machen, wie man die Steigung des Graphen einer linearen Funktion, das ist eine Gerade, ermittelt.
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|| Hinweis zum obigen Applet
|| Wenn man oben in der Mitte des Applets auf 
klickt, wird
|| das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt.
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klickt, wird
|| das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt.
||Aufgaben
(1)
Klickt den Auswahlknopf "Zuordnung" an. Dadurch werden gestrichelte grüne Linien sichtbar, die zeigen, dass dem Wert x1 der Funktionswert f(x1) und dem Wert x2 der Funktionswert f(x2) zugeordnet ist.
(2)
Klickt jetzt den Auswahlknopf "Absolute Änderung" an und macht euch klar, was genau die rote Strecke und blaue Strecke inhaltlich bedeuten. Haltet eure Überlegungen schriftlich fest.
(3)
Bewegt den mit x2 beschrifteten roten Punkt langsam auf der x-Achse und beobachtet, was dabei passiert. Notiert eure Beobachtungen.
(4)
Die Steigung einer Funktion gibt an, wie stark sich der Funktionswert verändert, wenn man den x-Wert verändert. Wie man am Funktionsgraph, der hier eine Gerade ist, erkennen kann, ist die Steigung bei einer linearen Funktion überall gleich.
Begründet schriftlich, warum sich beim Verändern der Lage von x2 auch die absolute Änderung der Funktionswerte verändert.
(5)
Klickt auf den Auswahlknopf "Änderungsrate (relative Änderung)", verändert anschließend die Lage von x2 und beobachtet dabei den Wert der Änderungsrate.
Notiert was euch auffällt und begründet, warum das so ist.
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Ergebnis
Bei Graphen von linearen Funktionen kann man mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung bestimmen. Dazu wird der Quotient aus der Differenz (absoluten Änderung) der Funktionswerte f(x2) - f(x1) und der Differenz (absoluten Änderung) der x-Werte x2 - x1 gebildet. Die Änderung der Funktionswerte wird also ins Verhältnis zur Änderung der x-Werte gesetzt. Der so gebildete Differenzenquotient (die Änderungsrate), gibt die Steigung des Graphen der linearen Funktion (der Gerade) an.