M1 AB II.4 Gepard: Steigung des Weg-Zeit-Graphs
Wie bestimmt man die Steigung eines Funktionsgraphs an einer Stelle x0?
Es soll die Steigung des Funktionsgraphs der Weg-Zeit-Funktion des Gepards an einer Stelle x0 bestimmt und untersucht werden, was das mit der (lokalen) Änderungsrate zu tun hat.
Wenn der Graph einer Funktion keine Gerade ist, dann ändert sich die Steigung. Es ist deshalb interessant zu erforschen, wie man die Steigung eines beliebigen Funktionsgraphen an einer interessierenden Stelle x0 bestimmen kann.
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|| Hinweis zum obigen Applet
|| Wenn man oben in der Mitte des Applets auf 
klickt, wird
|| das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt.
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klickt, wird
|| das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt.
||Aufgaben
(1)
Im Applet ist Funktionsgraphs der Weg-Zeit-Funktion des Gepards dargestellt.
Klickt den Auswahlknopf "Zuordnung" an. Dadurch werden gestrichelte grüne Linien sichtbar, die zeigen, dass dem Wert x0 der Funktionswert f(x0) und dem Wert x der Funktionswert f(x) zugeordnet ist.
(2)
Klickt auf den Auswahlknopf "Absolute Änderung" sowie auf den Auswahlknopf "Änderungsrate (relative Änderung)", verändere anschließend die Lage von x2 und beobachte dabei den Wert der Änderungsrate.
Notiert was euch im Vergleich zur linearen Funktion aus dem Arbeitsblatt M1 II.2 auffällt und begründet schriftlich, warum das so ist.
(3)
Beim angezeigten Funktionsgraph handelt es sich um keine Gerade, sondern um eine gekrümmte Kurve.
Überlegt, wie man bei einem gekrümmten Funktionsgraph die Steigung an einer Stelle x0 ablesen könnte. Haltet eure Überlegungen schriftlich fest.
(4)
Klickt den Auswahlknopf "Tangente" an. Dadurch wird die Tangente (also eine Gerade, die den Graph an der interessierenden Stelle berührt) an den Graphen der Funktion f an der Stelle x1 eingezeichnet.
Betrachtet die Tangente und überlegt ob und wenn ja was diese mit der Steigung des Graphen von f an der Stelle x0 zu tun hat.
Notiert eure Überlegungen.
(5)
Um eine Gerade eindeutig festzulegen, benötigt man zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. Bei der Tangente an den Graph der Funktion f an der Stelle x0 kennen wir aber nur den Berührpunkt, der die Koordinaten (x0, f(x0)) hat.
Mit den beiden Punkten (x0, f(x0)) und (x, f(x)) auf dem Funktionsgraph, können wir dagegen eine Gerade eindeutig bestimmen, die eine Sekante (also eine Gerade, die den Graph in zwei Punkten schneidet) des Funktionsgraphs ist und durch den Punkt (x0, f(x0)) verläuft.
Lasst die Sekante durch Klicken auf den Auswahlknopf "Sekante" anzeigen.
(6)
Zieht am Punkt x auf der x-Achse und beobachtet, was dabei mit der Sekante im Vergleich zur Tangente durch den Punkt (x0, f(x0)) passiert.
Notiert eure Beobachtungen.
(7)
Schaltet die Tangente durch Klicken auf den Auswahlknopf "Tangente" aus.
Zieht den Punkt x genau auf den Punkt x0. Beobachtet genau was dabei passiert.
Notiert eure Beobachtungen und gebt eine Erklärung dafür an.
(8)
Überlegt auf der Grundlage eurer Beobachtungen aus Aufgabe (6) wie man mit Hilfe der Steigung der Sekante die Steigung der Tangente durch den Punkt (x0, f(x0)) annähern kann.
Notiert eure Überlegungen.
(9)
Bewegt den Punkt x auf der x-Achse langsam in Richtung x0 und beobachtet dabei den Wert der Änderungsrate, also der Sekantensteigung.
Führt die Annäherung von x an x0 sowohl von rechts als auch von links durch.
Notiert eure Beobachtungen.
(10)
Notiert eine Vermutung für den Zahlenwert der Steigung der Tangente durch den Punkt (x0, f(x0)).