Polynômes cyclotomiques
Le polynôme cyclotomique est le polynôme unitaire dont les racines sont les racines primitives n-èmes de l'unité.
Tout d'abord, les racines n-èmes sont toutes de la forme . Il y en a exactement n différentes, autour du cercle unité et k peut-être choisi dans . Le polynôme qui les annule toutes en même temps est donc , en effet, il est de degré n et il annule chacune des n racines n-èmes de l'unité.
À part ±1 qui sont les seules racines réelles, les racines de l'unité viennent par paires conjuguées l'une de l'autre, une de partie imaginaire positive, l'autre négative, symétriques par rapport à l'axe des réels. Ce qui fait que, dans , on peut les coupler et faire apparaître des facteurs irréductibles réels
car et la factorisation en polynômes irréductibles réels est, en fonction de la parité:
Comme chaque racine n-ème a son propre ordre tel que , et est une racine primitive d-ème de l'unité pour un diviseur . Elle est donc annulée par . Réciproquement, toute racine primitive d-ème de l'unité est également une racine n-ème de l'unité étant donné que , en particulier pour , donc et . Donc le polynôme cyclotomique .
Clairement, une racine n-ème a un unique ordre, si d≠e. Par conséquent .
Comme il y a autant de racines primitives n-èmes que de nombres inversibles dans , c'est-à-dire encore que de nombres premiers avec n dans , le degré de est donc , la fonction indicatrice d'Euler.
En procédant de même pour tous les diviseurs de n, on obtient la factorisation en irréductibles dans de est