Schnittpunkte mit den Achsen (quadratische Funktionen)
Schnittpunkte mit der y-Achse
Den Schnittpunkt mit der y-Achse kannst du bei quadratischen Funktionen genauso einfach ablesen, wie bei linearen Funktionen: indem du auf das absolute Glied achtest.
Zur Erinnerung: Das absolute Glied ist in einem Term der Summand, der nicht mit einer Variablen verbunden ist.
Du kannst auch einfach x=0 einsetzen und das Ergebnis berechnen. Hier fällt jeder Faktor mit einem x einfach weg.
Beispiel:
--> das absolute Glied ist -7, also ist -7 der y-Achsenabschnitt.
oder, du setzt x=0 ein:
Wie du siehst, kommt bei beiden Wegen dasselbe Ergebnis heraus!
Da eine Funktion eine eindeutige Zuordnung ist (also jedes x maximal ein y zugeordnet hat), kann sie auch nur einen einzigen y-Achsenabschnitt haben!
Gib in dem Graphen unten unterschiedliche quadratische Funktionen ein und drücke anschließend Enter, um den y-Achsenabschnitt anzeigen zu lassen! Denk daran, dass das , bei Geogebra mit dem . geschrieben werden muss. Also statt 0,5 musst du 0.5 schreiben.
Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen)
Die Schnittpunkte mit der x-Achse werden als Nullstellen bezeichnet.
Alle Punkte, die auf der x-Achse liegen, besitzen den y-Wert y=0. y ist dasselbe wie f(x), also kannst du einfach die Bedingung f(x)=0 setzen.
Das bedeutet, dass du die ganze Funktionsgleichung gleich 0 setzt und nun nach x auflösen musst.
Was du schon aus dem Kapitel lineare Funktionen kennst, wird hier nun etwas komplizierter, da du nicht mehr so einfach nach x auflösen kannst =(
Je nach Form der Funktion gibt es unterschiedliche Strategien.
1)
Hier siehst du eine Funktion, die nur einen quadratischen Summanden und ein absolutes Glied hat. Setze die Funktion gleich Null und löse einfach nach x auf, denn hier kann man die Buchstaben und Zahlen problemlos trennen.
vergiss nicht, dass du die Plusminus Wurzel ziehen musst!
Die Nullstellen sind also N1(3|0) und N2(-3|0).
2)
Diese Funktion hat sowohl x2,x als auch ein absolutes Glied. Das heißt, hier musst du die pq-Formel anwenden, nachdem du die Funktion vorbereitest hast! x2 darf keinen Vorfaktor haben und links vom Gleichheitszeichen muss 0 stehen!
Die Nullstellen sind also N1(5|0) und N2(-1|0).
3) Achtung: Fortgeschrittene!
Hier gibt es nur Summanden mit x! Denk noch einmal an das Thema Ausklammern. Beim Ausklammern holst du aus jedem Term denselben Faktor heraus. Der gemeinsame Faktor in dieser Funktion ist das x!
Klammerst du das x aus, sieht der Term so aus:
Denk daran, den Faktor aus JEDEM Summanden zu ziehen!
Jetzt kannst du den sogenannten Satz vom Nullprodukt verwenden! Dieser besagt:
Es gibt also zwei Lösungen: entweder der erste Faktor ist Null, oder der zweite Faktor ist Null!
also gilt, f(x)=0 ist genau dann, wenn
x=0 oder 2x-4=0, da dies die beiden Faktoren sind. Jetzt musst du nur noch den zweiten Faktor nach x auflösen.
x=0 oder x=2 ist dann die fertige Lösung! --> Die Nullstellen sind also N1(0|0) und N2(2|0).
| Satz vom Nullprodukt: "Ist ein Faktor Null, ergibt das ganze Produkt Null!" |
Überprüfe deine Aufgaben mithilfe des Nullstellentesters. Gib hierfür die Funktion in das Eingabefeld ein und drücke Enter. Achte darauf, dass das Komma in Geogebra als Punkt geschrieben werden musst.
Also 2.3 statt 2,3.