Przykład 2.2
Niech będzie krzywą opisaną równaniem . Niech będzie dowolnym punktem leżącym na krzywej , zaś styczną do krzywej w tym punkcie. Wyznaczymy punkty, w których styczna jest
a) równoległa do prostej ,
b) równoległa do osi .
Ilustracja.
Prześledź położenie stycznej zmieniając położenie punktu . Postaw hipotezę dotyczącą rozwiązania jednego z podpunktów.
Rozwiązanie.
Przypomnijmy, że współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej w danym punkcie równy jest pochodnej funkcji uwikłanej przechodzącej przez ten punkt oraz fakt, iż dwie proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe. A zatem musimy zbadać, w jakim punkcie pochodna funkcji uwikłanej równa jest 1 lub 0. W tym celu rozwiązujemy odpowiednie układy równań (patrz wiersz 5 i 6).
Odpowiedź.
Ad. a) Styczna do krzywej jest równoległa do prostej , gdy . Równania tych stycznych znajdują się w wierszu i .
Ad. b) Styczna do krzywej jest równoległa do osi , gdy .
Ćwiczenie.
Modyfikując powyższy aplet wyznacz punkty, w których styczna jest równoległa do prostej .