Wahrscheinlichkeiten, Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Gesetz der großen Zahlen
Wenn ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt wird, dann nähert sich die relative Häufigkeit für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses einer Zahl zwischen 0 und 1. Diese kann in der Regel als gute Näherung für die Wahrscheinlichkeit betrachtet werden.
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Eine andere Definition gibt es von dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace. Diese Definition der Wahrscheinlichkeit trifft allerdings nur auf sogenannte Laplace-Experimente zu, bei denen jedes mögliche Ergebnis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten kann:
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl aller günstigen Ereignisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ereignisse:
Beispiele für die Laplace-Wahrscheinlichkeit:
- Beim Zufallsexperiment würfeln mit einem normalen Würfel ist das Ereignis : "eine Zahl größer als 4". Dafür gibt es offenbar nur zwei mögliche Ergebnisse, die 5 und die 6. Daher gilt:
- Auf einem Roulette-Spiel gibt es 37 Zahlen, die Null und die Zahlen von 1 bis 36. Das Ereignis ist: "Die Kugel trifft eine Zahl zwischen 1 und 12". Dann gilt:
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
- d.h. eine Wahrscheinlichkeit ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1
- d.h. es tritt garantiert irgend ein mögliches Ereigniss ein.
- (Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten)
- (Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses)
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Folgendes Experiment wird durchgeführt: Sie würfeln mit zwei Würfeln und schreiben die Gesamtaugenzahl auf. Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfeln Sie dabei welche Augenzahl?
Folgende 36 Ergebnisse sind möglich (Würfel 1, Würfel 2):
(1,7), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,7), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6),
Die Augenzahl 1 lässt sich so nicht erreichen. Das Ereignis "würfeln einer Eins" ist daher ein unmögliches Ereignis. Alle anderen Wahrscheinlichkeiten für die Augenzahlen 2 bis 12 lassen sich mit der Laplace'schen Wahrscheinlichkeit berechnen: Die Augenzahl 10 erhält man zum Beispiel mit den drei Kombinationen: (4,6), (5,5) und (6,4). Daher ist die Wahrscheinlichkeit .
Wenn für jedes mögliche Ereignis eine Wahrscheinlichkeit bestimmt wird, dann erhält man für das Zufallsexperiment eine Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Aufgabe: Wahrscheinlichkeitsverteilung für zweimal würfeln
Bestimmen Sie für alle möglichen Augenzahlen des Zufallsexperimentes "zweimal würfeln" die dazu gehörenden Wahrscheinlichkeiten: Sie können Ihr Ergebnis selbst überprüfen: Sind die Wahrscheinlichkeiten für alle Ereignisse richtig, dann muss ihre Summe genau 1 ergeben.