Veranschaulichung Komponentendarstellung und Berechnung Betrag (in KB)
1. Veranschaulichung der Komponentendarstellung
Mit dem unten folgenden Applet können Sie sich am Beispiel des Vektors
veranschaulichen, dass die Komponenten des Vektors zur Koordinatenbasis gerade jeweils der Anzahl der Koordinatenbasisvektoren , und entsprechen, die vektoriell addiert werden müssen, um von seinem Pfeilende zu seiner Pfeilspitze zu gelangen.
Dazu können Sie im "Eingabelog" des Applets nacheinander von oben nach unten jeweils die weißen Kreise anklicken. Dabei erscheinen dann jeweils die entsprechenden Koordinatenbasisvektoren, die aneinandergereiht (und somit vektoriell summiert) werden müssen, um vom Pfeilende zur Pfeilspitze zu gelangen.
Please note: Ich habe hier das Pfeilende des Vektors in den Koordinatenursprung gelegt. Dies einzig, da sich die Animation so einfacher implementieren lässt! Natürlich bleibt alles gleich, wenn man den Vektor an einer beliebigen anderen Stelle im Koordinatensystem zeichnet, bzw. ihn dorthin verschiebt. Auch dort benötigt man weiterhin dieselbe Anzahl von , und Vektoren, um durch deren vektorielle Addition von seinem Pfeilende zu seiner Pfeilspitze zu gelangen (der Vektor darf beim Verschieben ja nicht gedreht werden, da es sich sonst nicht mehr um den gleichen Vektor handelt)!
2. Veranschaulichung der Berechnung der Vektorlänge (d.h des "Betrags").
Weiter können Sie sich, nachdem Sie alle Koordinatenbasisvektoren durch das Anklicken der weißen Kreise im "Eingabelog" eingeblendet haben, durch passendes Drehen des Koordinatensystems auch davon überzeugen, dass man die Länge eines Vektors (d.h sein "Betrag") tatsächlich dadurch berechnen kann, indem man die Wurzel der Summe seiner Komponentenquadrate zieht.
So sieht man einerseits, dass zwischen den aneinandergereihten Basisvektoren (die zusammen eine Länge von 4 haben) und den aneinandergereihten Basisvektoren (die zusammen eine Länge von 2 haben) aufgrund dessen, dass "x-Achse" und "y-Achse" rechtwinklig aufeinander stehen, ein rechter Winkel existiert. Damit ist das Quadrat der Länge des gestrichelten "Schattens" des Vektors in der "xy-Ebene" mittels des Satz des Pythagoras: .
Andererseits erkennt man, dass zwischen ebendiesem "Schatten" und dem Basisvektor (Länge 1) ein weiterer rechter Winkel existiert, da die "z-Achse" wiederum senkrecht auf der "xy-Ebene" steht. Somit ergibt sich schliesslich für die Länge des Vektors (d.h seinen "Betrag"), wiederum mittels Satz des Pythagoras: