Modellierung von Wachstum mit Funktionen
Aufgabe:
An einem See, der mit einzelligen Algen zuwuchert, wurde an zehn Tagen gemessen, wie groß die Fläche ist, die bereits von Algen bedeckt ist (in Quadratmetern). Unten siehst du die Messergebnisse in einer Tabelle und einem Schaubild dargestellt. Das zweite Koordinatensystem unten ist erst mal unwichtig.
Nun soll eine Prgnose (Vorhersage) gemacht werden, wie sich diese Fläche in der nächsten Zeit weiterentwickelt:
a) Wie viel Quadratmeter sind es am Tag 20?
b) Wann ist der ganze See zugewuchert, wenn seine Fläche 10 ha beträgt?
Idee
Wir machen uns ein mathematisches Modell für die Situation, das die gemessenen Daten möglichst gut abdeckt. Dann können wir innerhalb des Modells Vorhersagen machen. Je nachdem wie "nah an der Realität" sich unser Modell bewegt, sind die Prognosen mehr oder weniger verlässlich.
Als Modell benutzen wir eine Funktion, deren Graph die bekannten Punkte möglichst gut trifft.
Kandidaten für Funktionen
Du kennst verschiedene Funktionsarten: Lineare Funktionen mit Geraden als Graph, Quadratische Funktionen mit Parabeln, und du hast bereits exponentielles Wachstum kennen gelernt, zu dem ebenfalls eine Funktions-Klasse gehört, die Exponentialfunktionen.
- Wenn du die Punkte im Schaubild anschaust, kannst du vielleicht schon auf den ersten Blick sagen, welche dieser Funktionen eher infrage kommen (gerader Verlauf oder gebogen?)
- Auch ein Blick auf die Zahlen in der Tabelle lohnt sich: Gibt es konstante Zuwächse (Immer gleich viel Fläche kommt von Tag zu Tag dazu)? Dann hätten wir lineares Wachstum. (Vergl. Spalte C; du kannst den Trennbalken zw. Tabelle und Schaubild verschieben, um die verdeckten Spalten zu sehen) Gibt es einen konstanten Faktor, mit dem man durch Multiplikation die Fläche des nächsten Tages erhält? Dann hätten wir exponentielles Wachstum (Vergl. Spalte D) Das ist oft gar nicht so leicht zu entscheiden, weil "echte" Messwerte auch mal ziemlich schwanken können.
- Was weißt du über die Art, in der sich Einzeller vermehren? Kann man daraus Argumente ableiten, die für eine bestimmte Funktionsklassesprechen?
Aufgabe1:
Rein Optisch könnten die Punkte zu folgenden Funktionen gehören: (Mehrfachnennung möglich)
Aufgabe 2
Sowohl eine Parabel, als auch eine Kurve, wie du sie vom exponentiellen Wachstum her kennst, könnte die Punkte abdecken. Welche ist besser geeignet und warum? Trage deine Antwort als Freitext ein.
Anpassung der Modell-Funktionen
Obwohl wir uns schon für die Exponentialfunktion entschieden haben, soll nun für alle drei Funktionenklassen jeweils eine Modellfunktion erstellt werden, damit man dann auch sehen kann, wie unterschiedlich die Prognosen werden, wenn man ein "schlechtes" Modell verwendet.
- Lineare Funktion: Aktiviere das Kontrollkästchen "Gerade anpassen" Und spiele an den Schiebereglern Für Steigung und Y-Achsenabschnitt, bis du eine Gerade gefunden hast, die deiner Meinung nach die Punkte bestmöglich repräsentiert. Die Funktionsgleichung dieser Geraden wird dir auch angezeigt.
- Exponenentialfunktion: Deaktiviere das erste Kontrollkästchen und aktiviere "Exponentialfunktion anpassen". Passe mit den Schiebereglern wieder die Kurve möglichst gut den Punkten an.
- Quadratische Funktion: Entsprechend.
Prognose: 20 Tage
Jetzt haben wir drei Funktionen festgelegt, die die Daten unterschiedlich gut wiedergeben: Die lineare Funktion passt offensichtlich nur schlecht. Die quadratische und die Exponentialfunktion hingegen treffen die Punkte beide ähnlich gut. Liefern sie auch ähnliche Prognosen?
Nun nehmen wir das untere Koordinatensystem in den Blick. Aktiviere oben alle drei Kontrollkästchen. Das gibt im oberen Fenster etwas Chaos. Wir gucken aber ins untere. Dort siehst du nun alle drei Funktionsgraphen und kannst ablesen, wie viele Quardatmeter Fläche nach 20 Tagen bedeckt sind. (Zoomen mit dem Mausrad und verschieben der Diagrammfläche ist möglich.)
Kontrolle:
Wie viel Fläche wird laut der drei Modelle nach 20 Tagen jeweils bedeckt sein? Trage die Werte als Freitext ein.
Prognose: See komplett bedeckt
Wie lange dauert es, bis der See komplett mit Algen bedeckt ist?
Dazu müssen wir die Achseneinteilung im unteren Koordinatensystem ändern: Rechtsklick / Grafik
Dort findest du das Achsenverhältnis X-Achse : Y-Achse. Ändere es auf 1:2000.
Dadurch müsste eine waagerechte gestrichelte Linie auf Höhe 100.000 auftauchen. 10 ha sind 10*100m*100m = 100.000 qm.
Lies ab, nach wie vielen Tagen diese Linie überschritten wird. Hier wird erst richtig deutlich, wie sehr sich die Modelle in ihrer Qualität unterscheiden. D. h. die Überlegungen von Aufgabe 2 waren ganz wichtig, denn nur mit dieser Argumentation können wir das quadratische Modell verwerfen.
Kontrolle
Nach wie vielen Tagen ist der See laut exponentiellem Modell komplett bedeckt?
Zusatzaufgabe
Vermutlich hast du für die quadratische und die liniare Funktion nicht wirklich abgelesen, wie lange es dauert, weil der entprechende Schnittpunkt so weit außerhalb des Darstellungsbereichs liegt.
Es geht auch rechnerisch: Benutze die Funktionsgleichungen deiner beiden Modellfunktionen (Wieder jeweils nur ein Kontrollkästchen aktivieren) und löse damit eine entsprechende Gleichung: .
Zum Weiterdenken - Corona-Pandemie
Zu Beginn der Corona-Pandemie haben Wissenschaftler versucht, mit den Daten aus der kurzen Laufzeit Modelle aufzustellen, mit denen man vorhersagen machen kann: Wie lange dauert das alles noch? Was würde passieren, wenn man die Schulen wieder öffnen würde? ...
Das ist eine viel komplexere Situation, funktioniert aber nach dem selben Prinzip: Bekannte Daten mit einem mathematischen Modell nachempfinden, dann damit in die Zukunft schauen.
Hoffentlich ist dir bei diesem Algen-Modell klar geworden, wie schwierig es sein kann, verlässliche Prognosen zu erstellen. Ein kleiner Fehler genügt (z.B. quadratisches Wachstum zu nehmen) und das Modell spuckt völlig andere Prognosen aus...