Teorema Principal de la Interpolación Polinomial

Sean parejas de puntos con distintas para . Entonces existe un y solo un polinomio de grado o menor que satisface para Demostración: Para demostrar este Teorema, suponga que existen dos polinomios y de grado o menor que interpolan a todos los datos. Ahora bien, si y interpolan los puntos de datos, esto nos supone que . Ahora definimos un nuevo polinomio tal que , es claro que también es de grado y observamos que ; es decir, tiene ceros distintos. De acuerdo con el Teorema Fundamental del Algebra, un polinomio de grado tiene ceros, a menos que sea el Polinomio idénticamente igual a cero. Observamos que si el grado de es o menor y ya que hemos analizado tiene ceros, esto nos lleva a la conclusión de que es el Polinomio idénticamente igual a cero y por lo tanto . Por lo tanto podemos afirmar que hay un único de grado o menor que interpola los puntos .