6-5 desarrollo en serie de 1/1+x2
1/1+x2 por división larga nos da
y= 1-x2+x4-x6+x8- …+(-1)n x2n
En la representación grafica de la función y la serie, podemos observar que la serie solo se ajusta a la función en un radio de |x| ≤1.
Que obstáculo impide que deje de converger para |x|≥1 ?
No hay respuesta (de momento…) a este comportamiento como la teníamos en el caso anterior para 1/1+x donde la función se hacia infinita en x=-1 .
Si analizamos el valor de la función y de la serie para x=1 vemos, como en el caso de 1/1+x, que para la función obtenemos ½, y haciendo x=1 en la serie obtenemos:
y =1-1+1-1+1-1+....
que toma valor +1 o -1 según el numero de términos que se consideren. En la representación grafica se observa muy bien esta alternancia comparando las graficas de la serie con numero par e impar de términos. Además se puede ver en la grafica como para valores mayores a 1 la serie tiende alternativamente a mas menos infinito.
Newton propuso para valores “grandes” de x la serie
y= x-2-x-4+x-6-x-8+ …
que se ajusta a la función para fuera del entorno|x| ≤1.