Introducción a funciones cuadráticas: forma canónica y forma factorizada

AUTORES

Ailín Loureyro - Andrés Capozzi

INTRODUCCIÓN

Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, Física y Economía. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos de empresas, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación (Altman et al., 2015 p. 83). Para un basquetbolista, cuando quiere lanzar la pelota, necesita aprender que curvatura tiene que hacer su pelota para poder embocar al aro. Un futbolista necesita que por lo menos su pelota pase la barrera en un tiro libre. Todas estas situaciones pueden ser modelizadas por una función y en particular, nos interesa saber cuando se alcanzan esos valores máximos o mínimos, o cuando la funcion se anula. Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo. Para una función que representa la ganancia en un negocio, se estaría interesado en el valor máximo; para una función que representa la cantidad de material en un proceso de manufactura, se estaría interesado en el valor mínimo (Stewart, 2007 p.193). Hablar de que la función se anula, estamos hablando para que valor de x en la función resulta 0. Las siguientes actividades nos guiarán a entender las propiedades que la caracterizan.

ENUNCIADO

Despues de cometer una falta en un partido de futbol, un jugador se propone a patear al arco a una distancia de 30 metros de distancia. Sin embargo quiere apuntarle a varios puntos distintos que aparecerán aleatoriamente. Ayudalo a ajustar la curva de la trayectoria para que pueda realizar el tiro correctamente.

ACTIVIDAD 1

1. Toca el botón Jugar de nuevo y manipula los deslizadores hasta obtener la curva correspondiente por donde quiere patear el jugador. Luego responde las siguientes preguntas: a. ¿Qué deslizador ajusta la curva para que pase mas o menos lejos que el jugador que está en la barrera? b. ¿Que deslizador ajusta la curva para que el pateador envie la pelota mas lejos? c. ¿A donde cae esa pelota? ¿Que valor/es de la función lo determina? d. Imagina que quieres que la pelota pase justo por encima de la barrera y aterrize cerca del punto de penal. ¿Cómo ajustarías los deslizadores para lograr esto? ¿Qué efecto tendría en la forma de la curva? 2. Responde: a. ¿Podrías determinar a que distancia del lugar de donde se patea la pelota alcanza la altura mas alta? ¿cómo lo harías? Ayudate jugando con el punto 1. b. ¿La gráfica siempre tiene dos intersecciones con el eje X? ¿de qué depende? ¿cuando no ocurría este caso?

ACTIVIDAD 2:

1. Nuevamente, cliquea el botón Jugar de nuevo y manipula los deslizadores hasta obtener la curva correspondiente por donde quiere patear el jugador. Luego responde las siguientes preguntas: a. El deslizador del parámetro a, ¿sigue afectando al disparo de la misma forma que en la función anterior? b. ¿En que afectan los deslizadores nuevos: h y k cuando varían?¿qué determina h y que determina k? c. ¿Puede hacer un gol si quisiera que la pelota alcance su altura maxima en donde esta la barrera? ¿porqué? d. Para que distancia, como minimo y como máximo tendría que alcanzar la altura máxima para que pueda hacer gol? 2. ¿Podrías saber a donde va a caer la pelota si alcanza su altura en el punto (14,4)?

ACTIVIDAD 3

Si el jugador quisiera realizar el gol considerando donde quiere que pique la pelota, ¿qué función le conviene usar? ¿Y si quisiera realizarlo pero sabiendo a donde quiere que alcance la altura máxima?

DESAFÍO FINAL

El jugador se prepara para patear al mismo lugar (tendrás que cliquear el boton jugar de nuevo, hasta que el punto se posicione en el mismo lugar en ambas pantallas), pero quiere que la pelota recorra la misma trayectoria. Te proponemos que ayude al jugador proporcionandole las funciones para que la pelota realice la misma curva en ambas pantallas. ¿Cómo verificarías que es la misma expresión?

BIBLIOGRAFÍA

-Altman, S., Comparatore, C., Kurzrok, L. (2015). Funciones 1. Longseller. CABA, Argentina. -Stewart, J.,Redlin, L., Watson, S. (2007). Precálculo: matemática para el cálculo. CENGAGE learning (5ta edición). México, D.F. -Illuzi, A., Sessa, C. (2014). Matemática. Función cuadrática, parábola y ecuaciones de segundo grado. Ministerio de Educación. CABA, Argentina.