Zahlenbeispiel für Regression bei beschränktem Wachstum
Aufgabe: Aufwärmen eines Kaltgetränkes
Es ist ein Sommertag, die Raumtemperatur beträgt 25°C. Ein Kaltgetränk wird aus dem Kühlschrank geholt und auf den Tisch gestellt. Zu unterschiedlichen Zeitpunkten wird die Temperatur gemessen:
Bestimmen Sie mit einer Regression die Funktion, die die Temperatur des Kaltgetränkes in Abhängigkeit von der Zeit wiedergibt.
Drücken Sie auf die [Apps]-Taste und wählen Sie die App "Statistiken 2Var" aus:
Dann erscheint die numerische Ansicht, also eine Tabelle, die Sie auch jederzeit mit der [Num]-Taste erreichen:
In diese Liste tragen Sie nun die Messwerte ein. In der Spalte C1 stehen die Zahlen, die auf der Abszisse (x-Achse) abgetragen werden und in die Zeile C2 kommen die Zahlen für die Ordinate (y-Achse):
Dann erscheint die numerische Ansicht, also eine Tabelle, die Sie auch jederzeit mit der [Num]-Taste erreichen:
In diese Liste tragen Sie nun die Messwerte ein. In der Spalte C1 stehen die Zahlen, die auf der Abszisse (x-Achse) abgetragen werden und in die Zeile C2 kommen die Zahlen für die Ordinate (y-Achse):
Anschauen der Messwerte
Wenn auf die [Symb]-Taste gedrückt wird, erhält man folgendes Bild:
Um sich die Messwerte anschauen zu können, muss man zuerst die Fensterkoordinaten des Koordinatensystems einstellen. Das macht man mit der Tastenkombination [Shift]+[Plot]:
Da die Zeit von 0 bis 30 Minuten geht und die Temperatur von 6 bis 25 Grad (siehen Tabelle), können wir für die x- und für die y-Achse den Zahlenbereich von 0 bis 30 eintragen:
Wenn dann die Taste [plot] gedrückt wird, sind die Messwerte schön zu sehen:
Hie ist auch schön zu sehen, dass es sich um ein beschränktes Wachstum handeln muss.
Um sich die Messwerte anschauen zu können, muss man zuerst die Fensterkoordinaten des Koordinatensystems einstellen. Das macht man mit der Tastenkombination [Shift]+[Plot]:
Da die Zeit von 0 bis 30 Minuten geht und die Temperatur von 6 bis 25 Grad (siehen Tabelle), können wir für die x- und für die y-Achse den Zahlenbereich von 0 bis 30 eintragen:
Wenn dann die Taste [plot] gedrückt wird, sind die Messwerte schön zu sehen:
Hie ist auch schön zu sehen, dass es sich um ein beschränktes Wachstum handeln muss.Die Regression
Für die Regression kehrt man mit der [Symb]-Taste wieder zur symbolischen Ansicht zurück:
Hier muss nun in das Feld, in dem die y-Werte stehen (die Spalte C2) "Grenze minus C2" eingetragen werden. In diesem Beispiel ist die Grenze die Raumtemperatur von 25°C:
Dann muss der Regressionstyp auf exponentiell geändert werden:
Nun muss durch das Drücken der [Plot]-Taste die symbolische Ansicht einmal kurz verlassen werden:
Nach zurückkehren zur symbolischen Ansicht mit der [Symb]-Taste steht eine Funktionsgleichung im Feld "Anpassung1":
Markieren Sie die Gleichung, indem Sie mit dem Finger dort auf das Display drücken, und kopieren Sie die Gleichung mit der Tastenkombination [Shift]+[Copy] (die Copy-Taste ist rechts neben dem runden Cursor-Knopf).
Dann wecheln Sie mit der [CAS]-Taste in das CAS-Fenster und fügen dort die Gleichung mit [Shift]+[Paste] ein:
Nun müssen Sie das große "X", das hier als Variable steht, durch ein kleines "x" ersetzen.
Dann gehen Sie mit dem Cursor ganz nach Links und schreiben "Grenze Minus" also hier "25-" vor die Gleichung. Jetzt ist ihre Funktionsgleichung für das beschränkte Wachstum fertig und Sie können Sie als f(x) abspeichern:
Im Gunde sind sie hier fertig mit der Regressionsrechnung. Ihre Funktionsgleichung, die die Messwerte für das beschränkte Wachstum beschreibt, ist f(x).
Hier muss nun in das Feld, in dem die y-Werte stehen (die Spalte C2) "Grenze minus C2" eingetragen werden. In diesem Beispiel ist die Grenze die Raumtemperatur von 25°C:
Dann muss der Regressionstyp auf exponentiell geändert werden:
Nun muss durch das Drücken der [Plot]-Taste die symbolische Ansicht einmal kurz verlassen werden:
Nach zurückkehren zur symbolischen Ansicht mit der [Symb]-Taste steht eine Funktionsgleichung im Feld "Anpassung1":
Markieren Sie die Gleichung, indem Sie mit dem Finger dort auf das Display drücken, und kopieren Sie die Gleichung mit der Tastenkombination [Shift]+[Copy] (die Copy-Taste ist rechts neben dem runden Cursor-Knopf).
Dann wecheln Sie mit der [CAS]-Taste in das CAS-Fenster und fügen dort die Gleichung mit [Shift]+[Paste] ein:
Nun müssen Sie das große "X", das hier als Variable steht, durch ein kleines "x" ersetzen.
Dann gehen Sie mit dem Cursor ganz nach Links und schreiben "Grenze Minus" also hier "25-" vor die Gleichung. Jetzt ist ihre Funktionsgleichung für das beschränkte Wachstum fertig und Sie können Sie als f(x) abspeichern:
Im Gunde sind sie hier fertig mit der Regressionsrechnung. Ihre Funktionsgleichung, die die Messwerte für das beschränkte Wachstum beschreibt, ist f(x).Vergleich von Messwerten und Regressionsfunktion
Da man gerne wissen möchte, ob die gefundene Funktion wirklich gut die Messwerte beschreibt, kann man sich beides auf dem Display anzeigen lassen:
Gehen Sie mit der [Symb]-Taste in die Ssymbolische Ansicht:
In die zweite Anpassung können Sie nun noch einmal die Spalten C1 und C2 eintragen, in denen die Messwerte für die Zeit und die Temperatur stehen.
Dann wählen Sie für Regressionstyp "Benutzerdefiniert" und tragen in das Feld "f(x)" ein (achten Sie darauf, dass es ein kleines f sein muss).
Wenn Sie jetzt wieder mit [Plot] in die grafische Ansicht gehen, dann sehen Sie in rot sowohl die Messwerte als auch Ihre Regressionsfunktion f(x):
Den blauen Grafen können Sie ignorieren, dieser Stellt "Grenze Minus Messwerte" dar.
Wenn Sie jetzt wieder mit [Plot] in die grafische Ansicht gehen, dann sehen Sie in rot sowohl die Messwerte als auch Ihre Regressionsfunktion f(x):
Den blauen Grafen können Sie ignorieren, dieser Stellt "Grenze Minus Messwerte" dar.