... aus Länge und beliebigen Aufhängepunkten
V. Ermitteln der Funktion (Teil 2)
... aus Länge und beliebigen Aufhängepunkten
Berechnung des Formparameters a
Die Punkte A und B sind nun beliebig verschiebbar und die Länge der Kette kann mit dem Schieberegler vorgegeben werden.
Der Formparameter a hängt nicht von den absoluten Höhen der Aufhängepunkte A und B ab, sondern von deren Höhendifferenz v.
Außerdem hängt er natürlich vom Abstand u der beiden Pfeiler ab, und nicht zuletzt auch noch von der vorgegebenen Länge l der Kette.
Die Herleitung einer Formel für die Berechnung von a ist recht aufwendig, deshalb wird sie nur im Anhang (siehe Parameter bei beliebiger Aufhängung) angeben.
Die Berechnung von a kann mit
oder
erfolgen.
Liegen die beiden Punkte A und B auf gleicher Höhe, ist v=0 und die Formel ist fast identisch mit der von der vorigen Seite (symmetrische Lage von A und B).
Wie schon in den zuvor behandelten Fällen kann die Formel nicht nach a aufgelöst werden, sondern muss mit einem geeigneten Taschenrechner oder CAS-System gelöst werden.
Berechnung der Verschiebung s
Der Tiefpunkt der Kettenlinie liegt bei asymmetrischer Anordnung von A und B nicht notwendig auf der y-Achse, sondern bei der x-Koordinate s.
Deshalb muss die cosh-Funktion für die Kettenlinie um s verschoben werden, indem x in der Funktionsgleichung durch x-s ersetzt wird:
.
Dabei ist c1 die x-Koordinate und h1 die y-Koordinate des Punktes A.
Die Verschiebung s kann mit der Formel
berechnet werden.
Die Herleitung ist auch bei dieser Formel aufwendig und befindet sich deshalb ebenfalls im Anhang (siehe Parameter bei beliebiger Aufhängung).