Derivadas direccionales y gradientes
Derivada direccional
Suponer que se está en la colina de la figura 13.42 y se quiere determinar la inclinación de
la colina respecto al eje z. Si la colina está representada por se sabe cómo determinar la pendiente en dos direcciones diferentes: la pendiente en la dirección de y está dada
por la derivada parcial y la pendiente en la dirección de x está dada por la derivada
parcial En esta sección se verá que estas dos derivadas parciales pueden usarse para
calcular la pendiente en cualquier dirección.
Para determinar la pendiente en un punto de una superficie, se definirá un nuevo tipo
de derivada llamada derivada direccional. Sea una superficie y un
punto en el dominio de como se muestra en la figura 13.43. La “dirección” de la derivada direccional está dada por un vector unitario
donde es el ángulo que forma el vector con el eje x positivo. Para hallar la pendiente
deseada, se reduce el problema a dos dimensiones cortando la superficie con un plano vertical que pasa por el punto y es paralelo a como se muestra en la figura 13.44. Este
plano vertical corta la superficie formando una curva La pendiente de la superficie en
en la dirección de se define como la pendiente de la curva en ese
punto.
De manera informal, se puede expresar la pendiente de la curva C como un límite
análogo a los usados en el cálculo de una variable. El plano vertical utilizado para formar
C corta el plano xy en una recta L, representada por las ecuaciones paramétricas,
