2.3 Weiterführende Berechnungen zum Leontief-Modell
Konsumvektor und Produktionsvektor sind proportional
Wenn wir uns die Gleichung ansehen, dann sieht man: Wenn die Marktabgabe insgesamt verdoppelt werden soll, d.h. alle Koordinaten, dann muss auch die Produktion in allen Koordinaten verdoppelt werden.
Die Rechnung lässt sich natürlich auch mit jedem anderen Faktor als durchführen.
Aber nur, wenn die gesamte Produktion oder der gesamte Konsumvektor vervielfacht wird. Wenn zum Beispiel nur der Sektor A seine Produktion verdoppelt, dann führt das nicht zu einer Verdopplung der Marktabgabe von Sektor A, weil die Produkte von A ja auch in die Sektoren B und C hineinfließen, die wiederum selbst mehr ihrer Produke an A liefern müssen.
Leontief-Gleichungen als Gleichungssystem
Im Folgenden wird die Matrix als Matrix bezeichnet, mit
Dann lässt sich die Gleichung , also , auch als Gleichungssystem schreiben:
Das sind drei Gleichungen und diese reichen aus, um drei Variablen zu bestimmen. Bisher waren unsere Variablen entweder der Konsumvektor , also , und oder der Produktionsvektor mit den Koordinaten , und . Aber es ist auch jede andere Mischung von drei Variablen denkbar:
- , und
- , und
- usw.
Lösungsbeispiel mit dem HP-Prime
Angenommen die Variablen , und sind gesucht. Dann lassen sich der Konsumvektor (hier mit ausgedachten Zahlen) zum Beispiel als und der Produktionsvektor als abspeichern (auch hier mit ausgedachten Zahlen). Außerdem sind die Einheitsmatrix als und die technologische Matrix als abgespeichert worden. Dann kann das Gleichungssystem mit der solve()-Anweisung gelöst werden:
solve(k=(E-A) * p,{y1,y3,x2})
Man erhält als Ergebnis die drei Variablen in der in der solve-Anweisung gegebenen Reihenfolge.
unendlich viele Lösungen
In sehr seltenen Fällen kann es bei den oben stehenden mit Zufallszahlen gebildeten Aufgaben auch zu unendlich vielen Lösungen kommen, dann bleibt eine Variable in den Lösugnen enthalten. Dann ist es fast unmöglich, das richtige Ergebnis zu erraten. In einem solchen Fall lohnt es sich einfach auf "Neu" zu drücken und die nächste Aufgabe zu berechnen.