三角形極線の性質の証明
パップスの定理を用いて、３点が一直線上にあることを示す。ＪＢとＧＳが大事な線。ＳがＥＦ上にあることを示す。順番にたどっていくと証明になる。最後に内接楕円を作図してみよう。
証明への道筋
最初にＡＰとＣＯの交点ＳがＢＪ上にあることを示す。
この証明は簡単。
次は、ＳがＥＦ上にあることを示す。
これは意外と難しい。
例えばＵがＤ極線上にあることを示さないといけない。
Ｊ極線の作り方は二通りある。
一つはＫを通るように作るＪを極とする方法と、もう一つはＧを通る方法でＵを極とする。
ＵからＧを通る極線を作図するとＥＦと一致することからわかる。
このようにパップスの定理を何回も用いて証明できる。
このことから
「ＡＰとＣＯは対角線であって、しかもその交点ＳはＥＦ上にある」
ことがわかる。
「Ｓが向かい合う接点を結んだ線上にあり、ＭとＯはＡＳとＣＳを結んだ対角線上にあると接線になる」ことの証明については
極と極線の作図 – GeoGebra
を参照。
これらのことから、
「三角形の極線上の点を極とする三角形極線は、三角形の内接円錐曲線に外接する」ことが示せる。
証明終わり。