Kopie von Füllkurve einer Kugel
Problemstellung
In einen kugelförmigen Behälter wird Wasser mit einer konstanten Zuflussmenge c pro Zeiteinheit eingefüllt. Die Kugel hat den Radius R.
Berechne, wie sich die Füllhöhe h im Lauf der Zeit t ändert.
Lösung
Das eingefüllte Wasser hat die Form einer Kugelkappe (Kugelsegment, Kugelkalotte) mit Radius R und Höhe h.
Ihr Volumen kann folgendermaßen berechnet werden:
Die Änderungsrate des Volumens ist konstant und entspricht der Zuflussmenge c pro Zeiteinheit:
Für die Höhe h in Abhängigkeit von der Zeit t ergibt sich also folgende Differentialgleichung:
Diese Differentialgleichung kann durch Trennung der Variablen gelöst werden.
Die Höhe h wird mit dieser impliziten Funktionsgleichung festgelegt.
Aufgabe
Verändere die Werte für den Radius R oder die Zuflussmenge c pro Zeiteinheit.
Wie lange braucht es, um den Kugel mit R = 1,5 und c = 3 zu füllen?
Wie lange dauert es, bis der Kugel gefüllt ist, wenn der Radius R verdoppelt wird? Begründe deine Antwort im Detail.
Andreas Lindner