Woher kommt das Pi?
Die Zahl Pi
Wie Sie in der vorhergehenden Applikation erkennen konnten, wird beim Kreis eine Zahl durch den griechischen Buchstaben (sprich Pi) verwendet. Das nachfolgende Applet zeigt, wie man sich diesem Zahlenwert nähern kann.
Die Zahl kommt vermutlich von dem griechischen Wort was peripheria bedeutet und als Randbereich übersetzt werden kann.
Der Zusammenhang zwischen dem Durchmesser und dem Umfang eines Kreises war schon Archimedes bekannt, der als Zahlenwert den Bruch angab.
Wenn Sie diesen Bruch als Dezimalzahl schreiben, dann erhalten Sie: 3,142857..., einen sogenannten periodischen Dezimalbruch. Die Zahlenfolge nach dem Komma (142857) wiederholt sich immer wieder.
Probieren Sie es selbst aus, in dem Sie schriftlich die Aufgabe 22 : 7 lösen.
Wichtig ist zunächst die 3 vor dem Komma!
Abschätzung der Kreiszahl
In der Konsequenz dieser Überlegung lässt sich ein Kreis durch regelmäßige Vielecke annähern.
Dabei bedeutet regelmäßig, dass die Seitenlängen des Vielecks immer gleichlang sind, und als Innenwinkel gleichgroß sind. Hier können Sie bei Wikipedia weiter Informationen zu regelmäßigen Vielecken (Polygonen) finden.
Das nachfolgende Kapitel zeigt, wie man den Zahlenwert durch Annäherungen mit regelmäßigen Vielecken. Als Startvieleck ist immer eine Quadrat gewählt.
Wenn Sie an einer Vertiefung zur Zahl π interessiert sind, lesen Sie weiter, ansonsten gehen Sie direkt zum nächsten Kapitel
Vertiefung zur Kreiszahl Pi
Heute ist bekannt, dass eine sogenannte transzendente Zahl ist, also der Bruch von Archimedes nur eine gute Näherung darstellt. Ferdinand von Lindemann bewies 1882, dass man einen Kreis nicht mit Zirkel und Lineal in ein flächengleiches Quadrat verwandeln kann (was als Quadratur des Kreises bezeichnet wird).
Achtung:
Hier heißt das nicht, dass es generell unmöglich ist, ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt eines Kreises anzugeben, das hängt von den erlaubten Werkzeugen ab. Mit etwas Algebra geht das schon, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
Gleichsetzen:
Also ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a = flächengleich zu einem Kreis mit dem Radius r.