Pitágoras: demostración de los dos cuadrados (Aryabhata)
Asunto
A Aryabhata, un matemático indio que vivió entre los siglos cuarto y quinto de nuestra era, le debemos la siguiente demostración del teorema de Pitágoras, de una sencillez sorprendente.
Demostración
Recordamos que el teorema de Pitágoras, en su versión más geométrica, dice que, en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Esto es, justamente, lo que demostró Aryabhata. Para ver cómo lo hizo, vamos a seguir los siguientes pasos:
1. Partimos de un triángulo rectángulo que se puede modificar arrastrando los puntos rojos (para avanzar la construcción se usan los botones de reproducción).
2. Construimos dos cuadrados iguales cuyo lado es igual a la suma de los dos catetos del triángulo rectángulo.
3. Colocamos cuatro copias del triángulo rectángulo en los vértices del cuadrado.
4. Ahora es cuando viene la magia: movemos el deslizador y reagrupamos los triángulos de dos en dos.
3. Colocamos cuatro copias del triángulo rectángulo en los vértices del cuadrado.
4. Ahora es cuando viene la magia: movemos el deslizador y reagrupamos los triángulos de dos en dos.Es curioso observar que basta introducir los triángulos para que parezca que los dos cuadrados se tuercen. Pero no, no se tuercen: es la mente, que nos engaña.
Vamos a la demostración: ¿qué hemos hecho? En primer lugar, es obvio por la construcción que las partes naranjas de ambos cuadrados tienen la misma área.
Resulta que en el cuadrado de la izquierda la zona naranja está compuesta de dos cuadrados cuyos lados son iguales a los catetos del triángulo original. Por su parte, en el cuadrado de la derecha la zona naranja es un único cuadrado cuyo lado es la hipotenusa del triángulo original. Como ambas zonas naranjas son de igual área, resulta que ya hemos demostrado el teorema.
Una última cosa: abría que demostrar que el cuadrado naranja de la derecha es realmente un cuadrado, pero es muy sencillo: cosa de ángulos suplementarios.
+construcciones: Epsilones