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Stereographische Projektion 1

Stereographische Projektion: ein parabolisches und das dazu orthogonale Kreisbüschel

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebrabooks Möbius-Werkzeuge circle tools (November 2018)

In dem Applet oben kann man die ebenen Kreise als Ganzes oder über die -Punkte bewegen. Die stereographische Projektion (oben bzw. auf der nächsten Seite) projiziert Punkte, Geraden und Kreise in der Ebene vom Nordpol aus auf die Einheitskugel. Dabei werden Kreise und Geraden in der Ebene auf Kreise auf der Kugel, das sind die Schnitte der Kugel mit Ebenen, abgebildet. Aus Geraden werden Kreise durch . Die stereographische Projektion ist kreis- und winkeltreu. Zwei Kreise in der Ebene erzeugen ein lineares Kreisbüschel: auf der Kugel schneiden sich die beiden zugehörigen Kreisebenen in einer Geraden: die Ebenen durch diese Gerade schneiden die Kugel in den Kreisen des Kreisbüschels. Je nach der Lage der Büschelgeraden erhält man ein
  • elliptisches Kreisbüschel: die Kreise gehen durch 2 Punkte, die Büschelgerade schneidet die Kugel in den 2 Büschelpunkten.
  • hyperbolisches Kreisbüschel: die Kreise schneiden sich nicht und sie sind orthogonal zu den Kreisen eines elliptischen Kreisbüchels. Die Büschelgerade liegt außerhalb der Kugel. Zwei der Ebenen durch diese Gerade berühren die Kugel in den Büschelpunkten des zugehörigen elliptischen Kreisbüschels.
  • parabolisches Kreisbüschel: die Kreise berühren sich. Die Büschelgerade berührt die Kugel. Die dazu orthogonale Berührgerade erzeugt das orthogonale parabolische Kreisbüschel.
Die Pole der Kreise eines linearen Kreisbüschel bezüglich der Kugel - also die Pole der Schnittebenen - liegen auf der zur Büschelgeraden polaren Geraden. Diese Gerade erzeugt als Büschelgerade das orthogonale Kreisbüschel. Bei parabolischen Kreisbüscheln berühren die beiden polaren Geraden die Kugel im Schnittpunkt der Geraden, für die anderen Kreisbüschel-Typen sind die poaren Geraden windschief, eine schneidet die Kugel, die andere liegt außerhalb der Kugel. In jedem Falle sind die Richtungsvektoren polarer Geraden orthogonal. Ein Kreis ist orthogonal zu einem Kreis , wenn der Pol des einen Kreises auf der Schnittebene des anderen Kreises liegt. Zu drei nicht in einem linearen Kreisbüschel liegenden Kreisen gibt es genau einen zu allen dreien orthogonalen Kreis. Dieser kann imaginär sein: der Pol der Kreisebene liegt im Inneren der Kugel, die Kreisebene schneidet die Kugel nicht! Kreis-Spiegelungen (Inversionen) in der Ebene entsprechen auf der Kugel den Spiegelungen an den Kreis-Ebenen, welche die Kugel invariant lassen.