Intervalos de crecimiento
Recta tangente a una función
Sea f(x) una función, a un valor del dominio de f(x) y P = (a, f(a)), un punto de la función. Se recuerda que f(a) es la imagen de a por la función f.
Recta tangente a una función por el punto P es la recta que pasa por P y solo tiene ese punto en común con la función.
La pendiente m de la recta tangente a una función puede ser:
- Positiva, si la recta es inclinada ascendente (de izquierda a derecha).
- Negativa, si la recta es inclinada descendente (de izquierda a derecha).
- Nula, (m = 0), si la recta es horizontal.
- No está definida, si la recta es vertical.
Puntos extremos de una función
Puntos extremos de una función son los valores más grandes y los valores más pequeños de la función. Los valores más grandes reciben el nombre de máximos y los valores más pequeños, mínimos. Pueden ser absolutos (globales) o relativos (locales), según sean en todo el dominio o en un intervalo específico.
Intervalo de crecimiento y de decrecimiento de una función
Sean a y b dos valores del dominio de la función y b > a:
Intervalo de crecimiento es el intervalo en el cual se cumple que f(b) > f(a).
En el gráfico de la función se tiene que es creciente cuando la pendiente de la tangente a la función es positiva (recta inclinada ascendente).
Intervalo de decrecimiento es el intervalo en el cual se cumple que f(b) < fa).
En el gráfico de la función se tiene que es decreciente cuando la pendiente de la tangente a la función es negativa (recta inclinada descendente).
A continuación se presentan dos applets donde se muestra la gráfica de 3 funciones. Para cada función active las casillas de verificación y desplace el punto de tangencia.
Si se analiza el comportamiento de la recta tangente a la función, se puede concluir que f(x) es creciente hasta el punto A (punto máximo), decreciente entre los puntos A y B (punto mínimo) y creciente desde A hasta infinito.
Obsérvese que el applet resalta las porciones de gráfica que son crecientes y que son decrecientes.
Para tener en cuenta el significado de algunas de las notaciones utilizadas en estos applets:
x(A) y x(B): abcisa del punto A y abcisa del punto B, respectivamente.
(a, b): intervalo abierto en ambos extremos. Es equivalente a {x R / a < x < b}
[c, d]: intervalo cerrado en ambos extremos. Es equivalente a {x R / c x d}
(m, n]: intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha. Es equivalente a {x R / m < x n}
[p, q): intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derecha. Es equivalente a {x R / p x < q}
(- , a) (b, ): unión de dos intervalos. Es equivalente a {x R / x < a x > b}.